微积分学示例

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{2 x}}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{2}}{lim_{x \to \infty} e^{2 x}}$

解题步骤 1.1.2

首项系数为正数的多项式在无穷远处的极限为无穷大。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{2 x}}$

解题步骤 1.1.3

因为指数 $2 x$ 趋于 $\infty$ ，所以数量 $e^{2 x}$ 趋于 $\infty$ 。

$\frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 1.1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{\infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{2 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{2 x}]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{2 x}]}$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [e^{2 x}]}$

解题步骤 1.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 1.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]}$

解题步骤 1.3.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]}$

解题步骤 1.3.3.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]}$

解题步骤 1.3.4

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])}$

解题步骤 1.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{2 x} (2 \cdot 1)}$

解题步骤 1.3.6

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{2 x} \cdot 2}$

解题步骤 1.3.7

将 $2$ 移到 $e^{2 x}$ 的左侧。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2 e^{2 x}}$

解题步骤 1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2 e^{2 x}}$

解题步骤 1.4.2

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{2 x}}$

解题步骤 2

运用洛必达法则。

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解题步骤 2.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 2.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{2 x}}$

解题步骤 2.1.2

首项系数为正数的多项式在无穷远处的极限为无穷大。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{2 x}}$

解题步骤 2.1.3

因为指数 $2 x$ 趋于 $\infty$ ，所以数量 $e^{2 x}$ 趋于 $\infty$ 。

$\frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 2.1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 2.2

因为 $\frac{\infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{2 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{2 x}]}$

解题步骤 2.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 2.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{2 x}]}$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{2 x}]}$

解题步骤 2.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 2.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]}$

解题步骤 2.3.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]}$

解题步骤 2.3.3.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]}$

解题步骤 2.3.4

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])}$

解题步骤 2.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{2 x} (2 \cdot 1)}$

解题步骤 2.3.6

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{2 x} \cdot 2}$

解题步骤 2.3.7

将 $2$ 移到 $e^{2 x}$ 的左侧。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 e^{2 x}}$

解题步骤 3

因为项 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{2 x}}$

解题步骤 4

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{e^{2 x}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{1}{2} \cdot 0$

解题步骤 5

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $0$ 。

$0$

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