微积分学示例

$\frac{- 4 x^{6} + 4 x^{5} - 3 x^{3}}{3 x^{2}}$

解题步骤 1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.1

因为 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{- 4 x^{6} + 4 x^{5} - 3 x^{3}}{3 x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{- 4 x^{6} + 4 x^{5} - 3 x^{3}}{x^{2}}]$ 。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{- 4 x^{6} + 4 x^{5} - 3 x^{3}}{x^{2}}]$

解题步骤 1.2

化简项。

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解题步骤 1.2.1

从 $- 4 x^{6} + 4 x^{5} - 3 x^{3}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

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解题步骤 1.2.1.1

从 $- 4 x^{6}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x^{3} (- 4 x^{3}) + 4 x^{5} - 3 x^{3}}{x^{2}}]$

解题步骤 1.2.1.2

从 $4 x^{5}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x^{3} (- 4 x^{3}) + x^{3} (4 x^{2}) - 3 x^{3}}{x^{2}}]$

解题步骤 1.2.1.3

从 $- 3 x^{3}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x^{3} (- 4 x^{3}) + x^{3} (4 x^{2}) + x^{3} \cdot - 3}{x^{2}}]$

解题步骤 1.2.1.4

从 $x^{3} (- 4 x^{3}) + x^{3} (4 x^{2})$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x^{3} (- 4 x^{3} + 4 x^{2}) + x^{3} \cdot - 3}{x^{2}}]$

解题步骤 1.2.1.5

从 $x^{3} (- 4 x^{3} + 4 x^{2}) + x^{3} \cdot - 3$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x^{3} (- 4 x^{3} + 4 x^{2} - 3)}{x^{2}}]$

解题步骤 1.2.2

约去 $x^{3}$ 和 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.2.1

从 $x^{3} (- 4 x^{3} + 4 x^{2} - 3)$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} (x (- 4 x^{3} + 4 x^{2} - 3))}{x^{2}}]$

解题步骤 1.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.2.2.1

乘以 $1$ 。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} (x (- 4 x^{3} + 4 x^{2} - 3))}{x^{2} \cdot 1}]$

解题步骤 1.2.2.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} (x (- 4 x^{3} + 4 x^{2} - 3))}{x^{2} \cdot 1}]$

解题步骤 1.2.2.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x (- 4 x^{3} + 4 x^{2} - 3)}{1}]$

解题步骤 1.2.2.2.4

用 $x (- 4 x^{3} + 4 x^{2} - 3)$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x (- 4 x^{3} + 4 x^{2} - 3)]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = - 4 x^{3} + 4 x^{2} - 3$ 。

$\frac{1}{3} (x \frac{d}{d x} [- 4 x^{3} + 4 x^{2} - 3] + (- 4 x^{3} + 4 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $- 4 x^{3} + 4 x^{2} - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$\frac{1}{3} (x (\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (- 4 x^{3} + 4 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.2

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$\frac{1}{3} (x (- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (- 4 x^{3} + 4 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{1}{3} (x (- 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (- 4 x^{3} + 4 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.4

将 $3$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{1}{3} (x (- 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (- 4 x^{3} + 4 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.5

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{1}{3} (x (- 12 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (- 4 x^{3} + 4 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{3} (x (- 12 x^{2} + 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3]) + (- 4 x^{3} + 4 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.7

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{1}{3} (x (- 12 x^{2} + 8 x + \frac{d}{d x} [- 3]) + (- 4 x^{3} + 4 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.8

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{3} (x (- 12 x^{2} + 8 x + 0) + (- 4 x^{3} + 4 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.9

将 $- 12 x^{2} + 8 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{3} (x (- 12 x^{2} + 8 x) + (- 4 x^{3} + 4 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{3} (x (- 12 x^{2} + 8 x) + (- 4 x^{3} + 4 x^{2} - 3) \cdot 1)$

解题步骤 3.11

将 $- 4 x^{3} + 4 x^{2} - 3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{3} (x (- 12 x^{2} + 8 x) - 4 x^{3} + 4 x^{2} - 3)$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$\frac{1}{3} (x (- 12 x^{2}) + x (8 x) - 4 x^{3} + 4 x^{2} - 3)$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$\frac{1}{3} (x (- 12 x^{2})) + \frac{1}{3} (x (8 x)) + \frac{1}{3} (- 4 x^{3}) + \frac{1}{3} (4 x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot - 3$

解题步骤 4.3

合并项。

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解题步骤 4.3.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{3} (- 12 (x^{1} x^{2})) + \frac{1}{3} (x (8 x)) + \frac{1}{3} (- 4 x^{3}) + \frac{1}{3} (4 x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot - 3$

解题步骤 4.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{3} (- 12 x^{1 + 2}) + \frac{1}{3} (x (8 x)) + \frac{1}{3} (- 4 x^{3}) + \frac{1}{3} (4 x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot - 3$

解题步骤 4.3.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{1}{3} (- 12 x^{3}) + \frac{1}{3} (x (8 x)) + \frac{1}{3} (- 4 x^{3}) + \frac{1}{3} (4 x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot - 3$

解题步骤 4.3.4

组合 $- 12$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{- 12}{3} x^{3} + \frac{1}{3} (x (8 x)) + \frac{1}{3} (- 4 x^{3}) + \frac{1}{3} (4 x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot - 3$

解题步骤 4.3.5

组合 $\frac{- 12}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$\frac{- 12 x^{3}}{3} + \frac{1}{3} (x (8 x)) + \frac{1}{3} (- 4 x^{3}) + \frac{1}{3} (4 x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot - 3$

解题步骤 4.3.6

约去 $- 12$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.6.1

从 $- 12 x^{3}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (- 4 x^{3})}{3} + \frac{1}{3} (x (8 x)) + \frac{1}{3} (- 4 x^{3}) + \frac{1}{3} (4 x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot - 3$

解题步骤 4.3.6.2

约去公因数。

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解题步骤 4.3.6.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (- 4 x^{3})}{3 (1)} + \frac{1}{3} (x (8 x)) + \frac{1}{3} (- 4 x^{3}) + \frac{1}{3} (4 x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot - 3$

解题步骤 4.3.6.2.2

约去公因数。

$\frac{3 (- 4 x^{3})}{3 \cdot 1} + \frac{1}{3} (x (8 x)) + \frac{1}{3} (- 4 x^{3}) + \frac{1}{3} (4 x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot - 3$

解题步骤 4.3.6.2.3

重写表达式。

$\frac{- 4 x^{3}}{1} + \frac{1}{3} (x (8 x)) + \frac{1}{3} (- 4 x^{3}) + \frac{1}{3} (4 x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot - 3$

解题步骤 4.3.6.2.4

用 $- 4 x^{3}$ 除以 $1$ 。

$- 4 x^{3} + \frac{1}{3} (x (8 x)) + \frac{1}{3} (- 4 x^{3}) + \frac{1}{3} (4 x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot - 3$

解题步骤 4.3.7

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 4 x^{3} + \frac{1}{3} (8 (x^{1} x)) + \frac{1}{3} (- 4 x^{3}) + \frac{1}{3} (4 x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot - 3$

解题步骤 4.3.8

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 4 x^{3} + \frac{1}{3} (8 (x^{1} x^{1})) + \frac{1}{3} (- 4 x^{3}) + \frac{1}{3} (4 x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot - 3$

解题步骤 4.3.9

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 4 x^{3} + \frac{1}{3} (8 x^{1 + 1}) + \frac{1}{3} (- 4 x^{3}) + \frac{1}{3} (4 x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot - 3$

解题步骤 4.3.10

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- 4 x^{3} + \frac{1}{3} (8 x^{2}) + \frac{1}{3} (- 4 x^{3}) + \frac{1}{3} (4 x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot - 3$

解题步骤 4.3.11

组合 $8$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$- 4 x^{3} + \frac{8}{3} x^{2} + \frac{1}{3} (- 4 x^{3}) + \frac{1}{3} (4 x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot - 3$

解题步骤 4.3.12

组合 $\frac{8}{3}$ 和 $x^{2}$ 。

$- 4 x^{3} + \frac{8 x^{2}}{3} + \frac{1}{3} (- 4 x^{3}) + \frac{1}{3} (4 x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot - 3$

解题步骤 4.3.13

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$- 4 x^{3} + \frac{8 x^{2}}{3} + \frac{- 4}{3} x^{3} + \frac{1}{3} (4 x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot - 3$

解题步骤 4.3.14

组合 $\frac{- 4}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$- 4 x^{3} + \frac{8 x^{2}}{3} + \frac{- 4 x^{3}}{3} + \frac{1}{3} (4 x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot - 3$

解题步骤 4.3.15

将负号移到分数的前面。

$- 4 x^{3} + \frac{8 x^{2}}{3} - \frac{4 x^{3}}{3} + \frac{1}{3} (4 x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot - 3$

解题步骤 4.3.16

要将 $- 4 x^{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{8 x^{2}}{3} - 4 x^{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{4 x^{3}}{3} + \frac{1}{3} (4 x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot - 3$

解题步骤 4.3.17

组合 $- 4 x^{3}$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{8 x^{2}}{3} + \frac{- 4 x^{3} \cdot 3}{3} - \frac{4 x^{3}}{3} + \frac{1}{3} (4 x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot - 3$

解题步骤 4.3.18

在公分母上合并分子。

$\frac{8 x^{2}}{3} + \frac{- 4 x^{3} \cdot 3 - 4 x^{3}}{3} + \frac{1}{3} (4 x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot - 3$

解题步骤 4.3.19

将 $3$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{8 x^{2}}{3} + \frac{- 12 x^{3} - 4 x^{3}}{3} + \frac{1}{3} (4 x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot - 3$

解题步骤 4.3.20

从 $- 12 x^{3}$ 中减去 $4 x^{3}$ 。

$\frac{8 x^{2}}{3} + \frac{- 16 x^{3}}{3} + \frac{1}{3} (4 x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot - 3$

解题步骤 4.3.21

将负号移到分数的前面。

$\frac{8 x^{2}}{3} - \frac{16 x^{3}}{3} + \frac{1}{3} (4 x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot - 3$

解题步骤 4.3.22

组合 $4$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{8 x^{2}}{3} - \frac{16 x^{3}}{3} + \frac{4}{3} x^{2} + \frac{1}{3} \cdot - 3$

解题步骤 4.3.23

组合 $\frac{4}{3}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{8 x^{2}}{3} - \frac{16 x^{3}}{3} + \frac{4 x^{2}}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 3$

解题步骤 4.3.24

在公分母上合并分子。

$- \frac{16 x^{3}}{3} + \frac{8 x^{2} + 4 x^{2}}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 3$

解题步骤 4.3.25

将 $8 x^{2}$ 和 $4 x^{2}$ 相加。

$- \frac{16 x^{3}}{3} + \frac{12 x^{2}}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 3$

解题步骤 4.3.26

约去 $12$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.26.1

从 $12 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$- \frac{16 x^{3}}{3} + \frac{3 (4 x^{2})}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 3$

解题步骤 4.3.26.2

约去公因数。

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解题步骤 4.3.26.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$- \frac{16 x^{3}}{3} + \frac{3 (4 x^{2})}{3 (1)} + \frac{1}{3} \cdot - 3$

解题步骤 4.3.26.2.2

约去公因数。

$- \frac{16 x^{3}}{3} + \frac{3 (4 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{1}{3} \cdot - 3$

解题步骤 4.3.26.2.3

重写表达式。

$- \frac{16 x^{3}}{3} + \frac{4 x^{2}}{1} + \frac{1}{3} \cdot - 3$

解题步骤 4.3.26.2.4

用 $4 x^{2}$ 除以 $1$ 。

$- \frac{16 x^{3}}{3} + 4 x^{2} + \frac{1}{3} \cdot - 3$

解题步骤 4.3.27

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $- 3$ 。

$- \frac{16 x^{3}}{3} + 4 x^{2} + \frac{- 3}{3}$

解题步骤 4.3.28

约去 $- 3$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.28.1

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$- \frac{16 x^{3}}{3} + 4 x^{2} + \frac{3 \cdot - 1}{3}$

解题步骤 4.3.28.2

约去公因数。

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解题步骤 4.3.28.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$- \frac{16 x^{3}}{3} + 4 x^{2} + \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)}$

解题步骤 4.3.28.2.2

约去公因数。

$- \frac{16 x^{3}}{3} + 4 x^{2} + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1}$

解题步骤 4.3.28.2.3

重写表达式。

$- \frac{16 x^{3}}{3} + 4 x^{2} + \frac{- 1}{1}$

解题步骤 4.3.28.2.4

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$- \frac{16 x^{3}}{3} + 4 x^{2} - 1$

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