微积分学示例

$8 (4^{x})$

解题步骤 1

将 $8 (4^{x})$ 书写为一个函数。

$f (x) = 8 (4^{x})$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int 8 (4^{x}) d x$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$\int 2^{3} \cdot 4^{x} d x$

解题步骤 4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\int 2^{3} \cdot {(2^{2})}^{x} d x$

解题步骤 4.3

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int 2^{3} \cdot 2^{2 x} d x$

解题步骤 4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 2^{3 + 2 x} d x$

解题步骤 5

使 $u = 3 + 2 x$ 。然后使 $d u = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 5.1

设 $u = 3 + 2 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 $3 + 2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [3 + 2 x]$

解题步骤 5.1.2

求微分。

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解题步骤 5.1.2.1

根据加法法则， $3 + 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [2 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 5.1.2.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 5.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 5.1.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$0 + 2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 + 2 \cdot 1$

解题步骤 5.1.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$0 + 2$

解题步骤 5.1.4

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$2$

解题步骤 5.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int 2^{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

解题步骤 6

组合 $2^{u}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\int \frac{2^{u}}{2} d u$

解题步骤 7

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int 2^{u} d u$

解题步骤 8

$2^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\frac{2^{u}}{\ln (2)}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{2^{u}}{\ln (2)} + C)$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

将 $\frac{1}{2} (\frac{2^{u}}{\ln (2)} + C)$ 重写为 $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u} + C$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u} + C$

解题步骤 9.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{\ln (2)}$ 。

$\frac{1}{2 \ln (2)} \cdot 2^{u} + C$

解题步骤 10

使用 $3 + 2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2 \ln (2)} \cdot 2^{3 + 2 x} + C$

解题步骤 11

答案是函数 $f (x) = 8 (4^{x})$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{1}{2 \ln (2)} \cdot 2^{3 + 2 x} + C$

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