微积分学示例

$\int_{1}^{4} (\frac{4}{x^{2}} + 2 x - 3 x^{2}) d x$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$\int_{1}^{4} \frac{4}{x^{2}} + 2 x - 3 x^{2} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{1}^{4} \frac{4}{x^{2}} d x + \int_{1}^{4} 2 x d x + \int_{1}^{4} - 3 x^{2} d x$

解题步骤 3

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$4 \int_{1}^{4} \frac{1}{x^{2}} d x + \int_{1}^{4} 2 x d x + \int_{1}^{4} - 3 x^{2} d x$

解题步骤 4

应用指数的基本规则。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$4 \int_{1}^{4} {(x^{2})}^{- 1} d x + \int_{1}^{4} 2 x d x + \int_{1}^{4} - 3 x^{2} d x$

解题步骤 4.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$4 \int_{1}^{4} x^{2 \cdot - 1} d x + \int_{1}^{4} 2 x d x + \int_{1}^{4} - 3 x^{2} d x$

解题步骤 4.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$4 \int_{1}^{4} x^{- 2} d x + \int_{1}^{4} 2 x d x + \int_{1}^{4} - 3 x^{2} d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$4 (- x^{- 1}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} 2 x d x + \int_{1}^{4} - 3 x^{2} d x$

解题步骤 6

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$4 (- x^{- 1}]_{1}^{4}) + 2 \int_{1}^{4} x d x + \int_{1}^{4} - 3 x^{2} d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$4 (- x^{- 1}]_{1}^{4}) + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - 3 x^{2} d x$

解题步骤 8

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$4 (- x^{- 1}]_{1}^{4}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - 3 x^{2} d x$

解题步骤 9

由于 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 3$ 移到积分外。

$4 (- x^{- 1}]_{1}^{4}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) - 3 \int_{1}^{4} x^{2} d x$

解题步骤 10

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$4 (- x^{- 1}]_{1}^{4}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4})$

解题步骤 11

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$4 (- x^{- 1}]_{1}^{4}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4})$

解题步骤 11.2

代入并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.1

计算 $- x^{- 1}$ 在 $4$ 处和在 $1$ 处的值。

$4 ((- 4^{- 1}) + 1^{- 1}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4})$

解题步骤 11.2.2

计算 $\frac{x^{2}}{2}$ 在 $4$ 处和在 $1$ 处的值。

$4 (- 4^{- 1} + 1^{- 1}) + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4})$

解题步骤 11.2.3

计算 $\frac{x^{3}}{3}$ 在 $4$ 处和在 $1$ 处的值。

$4 (- 4^{- 1} + 1^{- 1}) + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

解题步骤 11.2.4

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$4 (- \frac{1}{4} + 1^{- 1}) + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

解题步骤 11.2.4.2

一的任意次幂都为一。

$4 (- \frac{1}{4} + 1) + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

解题步骤 11.2.4.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$4 (- \frac{1}{4} + \frac{4}{4}) + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

解题步骤 11.2.4.4

在公分母上合并分子。

$4 \frac{- 1 + 4}{4} + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

解题步骤 11.2.4.5

将 $- 1$ 和 $4$ 相加。

$4 (\frac{3}{4}) + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

解题步骤 11.2.4.6

组合 $4$ 和 $\frac{3}{4}$ 。

$\frac{4 \cdot 3}{4} + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

解题步骤 11.2.4.7

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{12}{4} + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

解题步骤 11.2.4.8

约去 $12$ 和 $4$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.4.8.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot 3}{4} + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

解题步骤 11.2.4.8.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.4.8.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot 3}{4 (1)} + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

解题步骤 11.2.4.8.2.2

约去公因数。

$\frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 1} + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

解题步骤 11.2.4.8.2.3

重写表达式。

$\frac{3}{1} + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

解题步骤 11.2.4.8.2.4

用 $3$ 除以 $1$ 。

$3 + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

解题步骤 11.2.4.9

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$3 + 2 (\frac{16}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

解题步骤 11.2.4.10

约去 $16$ 和 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.4.10.1

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$3 + 2 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

解题步骤 11.2.4.10.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.4.10.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$3 + 2 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

解题步骤 11.2.4.10.2.2

约去公因数。

$3 + 2 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

解题步骤 11.2.4.10.2.3

重写表达式。

$3 + 2 (\frac{8}{1} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

解题步骤 11.2.4.10.2.4

用 $8$ 除以 $1$ 。

$3 + 2 (8 - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

解题步骤 11.2.4.11

一的任意次幂都为一。

$3 + 2 (8 - \frac{1}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

解题步骤 11.2.4.12

要将 $8$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$3 + 2 (8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

解题步骤 11.2.4.13

组合 $8$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$3 + 2 (\frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

解题步骤 11.2.4.14

在公分母上合并分子。

$3 + 2 \frac{8 \cdot 2 - 1}{2} - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

解题步骤 11.2.4.15

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.4.15.1

将 $8$ 乘以 $2$ 。

$3 + 2 \frac{16 - 1}{2} - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

解题步骤 11.2.4.15.2

从 $16$ 中减去 $1$ 。

$3 + 2 (\frac{15}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

解题步骤 11.2.4.16

组合 $2$ 和 $\frac{15}{2}$ 。

$3 + \frac{2 \cdot 15}{2} - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

解题步骤 11.2.4.17

将 $2$ 乘以 $15$ 。

$3 + \frac{30}{2} - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

解题步骤 11.2.4.18

约去 $30$ 和 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.4.18.1

从 $30$ 中分解出因数 $2$ 。

$3 + \frac{2 \cdot 15}{2} - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

解题步骤 11.2.4.18.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.4.18.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$3 + \frac{2 \cdot 15}{2 (1)} - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

解题步骤 11.2.4.18.2.2

约去公因数。

$3 + \frac{2 \cdot 15}{2 \cdot 1} - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

解题步骤 11.2.4.18.2.3

重写表达式。

$3 + \frac{15}{1} - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

解题步骤 11.2.4.18.2.4

用 $15$ 除以 $1$ 。

$3 + 15 - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

解题步骤 11.2.4.19

将 $3$ 和 $15$ 相加。

$18 - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

解题步骤 11.2.4.20

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$18 - 3 (\frac{64}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

解题步骤 11.2.4.21

一的任意次幂都为一。

$18 - 3 (\frac{64}{3} - \frac{1}{3})$

解题步骤 11.2.4.22

在公分母上合并分子。

$18 - 3 \frac{64 - 1}{3}$

解题步骤 11.2.4.23

从 $64$ 中减去 $1$ 。

$18 - 3 (\frac{63}{3})$

解题步骤 11.2.4.24

约去 $63$ 和 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.4.24.1

从 $63$ 中分解出因数 $3$ 。

$18 - 3 \frac{3 \cdot 21}{3}$

解题步骤 11.2.4.24.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.4.24.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$18 - 3 \frac{3 \cdot 21}{3 (1)}$

解题步骤 11.2.4.24.2.2

约去公因数。

$18 - 3 \frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 1}$

解题步骤 11.2.4.24.2.3

重写表达式。

$18 - 3 (\frac{21}{1})$

解题步骤 11.2.4.24.2.4

用 $21$ 除以 $1$ 。

$18 - 3 \cdot 21$

解题步骤 11.2.4.25

将 $- 3$ 乘以 $21$ 。

$18 - 63$

解题步骤 11.2.4.26

从 $18$ 中减去 $63$ 。

$- 45$

解题步骤 12

微积分学 示例

微积分学示例