微积分学示例

$3 \sqrt{x} + x^{2018}$

解题步骤 1

将 $3 \sqrt{x} + x^{2018}$ 书写为一个函数。

$f (x) = 3 \sqrt{x} + x^{2018}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int 3 \sqrt{x} + x^{2018} d x$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 3 \sqrt{x} d x + \int x^{2018} d x$

解题步骤 5

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$3 \int \sqrt{x} d x + \int x^{2018} d x$

解题步骤 6

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$3 \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int x^{2018} d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 。

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \int x^{2018} d x$

解题步骤 8

根据幂法则， $x^{2018}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2019} x^{2019}$ 。

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \frac{1}{2019} x^{2019} + C$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \frac{1}{2019} x^{2019} + C$

解题步骤 9.2

化简。

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2019} x^{2019} + C$

解题步骤 10

答案是函数 $f (x) = 3 \sqrt{x} + x^{2018}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2019} x^{2019} + C$

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