微积分学示例

$\int_{- 2}^{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}} \frac{9}{x \sqrt{4 x^{2} - 4}} d x$

解题步骤 1

由于 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $9$ 移到积分外。

$9 \int_{- 2}^{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}} \frac{1}{x \sqrt{4 x^{2} - 4}} d x$

解题步骤 2

通过提取公因式进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

将 $4 x^{2}$ 重写为 ${(2 x)}^{2}$ 。

$9 \int_{- 2}^{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}} \frac{1}{x \sqrt{{(2 x)}^{2} - 4}} d x$

解题步骤 2.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$9 \int_{- 2}^{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}} \frac{1}{x \sqrt{{(2 x)}^{2} - 2^{2}}} d x$

解题步骤 3

$\frac{1}{x \sqrt{{(2 x)}^{2} - 2^{2}}}$ 对 $x$ 的积分为 $\frac{1}{2} arcsec (| \frac{2 x}{2} |)$

$9 (\frac{1}{2} arcsec (| \frac{2 x}{2} |)]_{- 2}^{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}})$

解题步骤 4

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1.1

约去公因数。

$9 (\frac{1}{2} arcsec (| \frac{2 x}{2} |)]_{- 2}^{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}})$

解题步骤 4.1.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$9 (\frac{1}{2} arcsec (| x |)]_{- 2}^{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}})$

解题步骤 4.1.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $arcsec (| x |)$ 。

$9 (\frac{arcsec (| x |)}{2}]_{- 2}^{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}})$

解题步骤 4.2

计算 $\frac{arcsec (| x |)}{2}$ 在 $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 处和在 $- 2$ 处的值。

$9 (\frac{arcsec (| - \frac{2 \sqrt{3}}{3} |)}{2} - \frac{arcsec (| - 2 |)}{2})$

解题步骤 5

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

在公分母上合并分子。

$9 \frac{arcsec (| - \frac{2 \sqrt{3}}{3} |) - arcsec (| - 2 |)}{2}$

解题步骤 5.2

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 约为 $- 1.15470053$ ，因其为负数，所以对 $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 取反并去掉绝对值

$9 \frac{arcsec (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - arcsec (| - 2 |)}{2}$

解题步骤 5.2.2

$arcsec (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$ 的准确值为 $\frac{π}{6}$ 。

$9 \frac{\frac{π}{6} - arcsec (| - 2 |)}{2}$

解题步骤 5.2.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $- 2$ 和 $0$ 之间的距离为 $2$ 。

$9 \frac{\frac{π}{6} - arcsec (2)}{2}$

解题步骤 5.2.4

$arcsec (2)$ 的准确值为 $\frac{π}{3}$ 。

$9 \frac{\frac{π}{6} - \frac{π}{3}}{2}$

解题步骤 5.3

要将 $- \frac{π}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$9 \frac{\frac{π}{6} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}}{2}$

解题步骤 5.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.4.1

将 $\frac{π}{3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$9 \frac{\frac{π}{6} - \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2}}{2}$

解题步骤 5.4.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$9 \frac{\frac{π}{6} - \frac{π \cdot 2}{6}}{2}$

解题步骤 5.5

在公分母上合并分子。

$9 \frac{\frac{π - π \cdot 2}{6}}{2}$

解题步骤 5.6

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.6.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$9 \frac{\frac{π - 2 π}{6}}{2}$

解题步骤 5.6.2

从 $π$ 中减去 $2 π$ 。

$9 \frac{\frac{- π}{6}}{2}$

解题步骤 5.7

将负号移到分数的前面。

$9 \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

解题步骤 5.8

将分子乘以分母的倒数。

$9 (- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2})$

解题步骤 5.9

乘以 $- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.9.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{π}{6}$ 。

$9 (- \frac{π}{2 \cdot 6})$

解题步骤 5.9.2

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$9 (- \frac{π}{12})$

解题步骤 5.10

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.10.1

将 $- \frac{π}{12}$ 中前置负号移到分子中。

$9 \frac{- π}{12}$

解题步骤 5.10.2

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (3) \frac{- π}{12}$

解题步骤 5.10.3

从 $12$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 \cdot 3 \frac{- π}{3 \cdot 4}$

解题步骤 5.10.4

约去公因数。

$3 \cdot 3 \frac{- π}{3 \cdot 4}$

解题步骤 5.10.5

重写表达式。

$3 \frac{- π}{4}$

解题步骤 5.11

组合 $3$ 和 $\frac{- π}{4}$ 。

$\frac{3 (- π)}{4}$

解题步骤 5.12

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 3 π}{4}$

解题步骤 5.13

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3 π}{4}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{3 π}{4}$

小数形式：

$- 2.35619449 \dots$

解题步骤 7

微积分学 示例

微积分学示例