微积分学示例

\int_{- 2}^{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}} \frac{9}{x \sqrt{4 x^{2} - 4}} d x

$\int_{- 2}^{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}} \frac{9}{x \sqrt{4 x^{2} - 4}} d x$

解题步骤 1

由于

$9$ 对于

$x$ 是常数，所以将

$9$ 移到积分外。

$9 \int_{- 2}^{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}} \frac{1}{x \sqrt{4 x^{2} - 4}} d x$

解题步骤 2

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 2.1

将

$4 x^{2}$ 重写为

${(2 x)}^{2}$ 。

$9 \int_{- 2}^{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}} \frac{1}{x \sqrt{{(2 x)}^{2} - 4}} d x$

解题步骤 2.2

将

$4$ 重写为

$2^{2}$ 。

$9 \int_{- 2}^{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}} \frac{1}{x \sqrt{{(2 x)}^{2} - 2^{2}}} d x$

解题步骤 3

$\frac{1}{x \sqrt{{(2 x)}^{2} - 2^{2}}}$ 对

$x$ 的积分为

$\frac{1}{2} arcsec (| \frac{2 x}{2} |)$

$9 (\frac{1}{2} arcsec (| \frac{2 x}{2} |)]_{- 2}^{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}})$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

化简。

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解题步骤 4.1.1

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.1.1

约去公因数。

$9 (\frac{1}{2} arcsec (| \frac{2 x}{2} |)]_{- 2}^{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}})$

解题步骤 4.1.1.2

用

$x$ 除以

$1$ 。

$9 (\frac{1}{2} arcsec (| x |)]_{- 2}^{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}})$

解题步骤 4.1.2

组合

$\frac{1}{2}$ 和

$arcsec (| x |)$ 。

$9 (\frac{arcsec (| x |)}{2}]_{- 2}^{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}})$

解题步骤 4.2

计算

$\frac{arcsec (| x |)}{2}$ 在

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 处和在

$- 2$ 处的值。

$9 (\frac{arcsec (| - \frac{2 \sqrt{3}}{3} |)}{2} - \frac{arcsec (| - 2 |)}{2})$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

在公分母上合并分子。

$9 \frac{arcsec (| - \frac{2 \sqrt{3}}{3} |) - arcsec (| - 2 |)}{2}$

解题步骤 5.2

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 约为

$- 1.15470053$ ，因其为负数，所以对

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 取反并去掉绝对值

$9 \frac{arcsec (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - arcsec (| - 2 |)}{2}$

解题步骤 5.2.2

$arcsec (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$ 的准确值为

$\frac{π}{6}$ 。

$9 \frac{\frac{π}{6} - arcsec (| - 2 |)}{2}$

解题步骤 5.2.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。

$- 2$ 和

$0$ 之间的距离为

$2$ 。

$9 \frac{\frac{π}{6} - arcsec (2)}{2}$

解题步骤 5.2.4

$arcsec (2)$ 的准确值为

$\frac{π}{3}$ 。

$9 \frac{\frac{π}{6} - \frac{π}{3}}{2}$

解题步骤 5.3

要将

$- \frac{π}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以

$\frac{2}{2}$ 。

$9 \frac{\frac{π}{6} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}}{2}$

解题步骤 5.4

通过与

$1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母

$6$ 的形式。

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解题步骤 5.4.1

将

$\frac{π}{3}$ 乘以

$\frac{2}{2}$ 。

$9 \frac{\frac{π}{6} - \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2}}{2}$

解题步骤 5.4.2

将

$3$ 乘以

$2$ 。

$9 \frac{\frac{π}{6} - \frac{π \cdot 2}{6}}{2}$

解题步骤 5.5

在公分母上合并分子。

$9 \frac{\frac{π - π \cdot 2}{6}}{2}$

解题步骤 5.6

化简分子。

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解题步骤 5.6.1

将

$2$ 乘以

$- 1$ 。

$9 \frac{\frac{π - 2 π}{6}}{2}$

解题步骤 5.6.2

从

$π$ 中减去

$2 π$ 。

$9 \frac{\frac{- π}{6}}{2}$

解题步骤 5.7

将负号移到分数的前面。

$9 \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

解题步骤 5.8

将分子乘以分母的倒数。

$9 (- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2})$

解题步骤 5.9

乘以

$- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 5.9.1

将

$\frac{1}{2}$ 乘以

$\frac{π}{6}$ 。

$9 (- \frac{π}{2 \cdot 6})$

解题步骤 5.9.2

将

$2$ 乘以

$6$ 。

$9 (- \frac{π}{12})$

解题步骤 5.10

约去

$3$ 的公因数。

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解题步骤 5.10.1

将

$- \frac{π}{12}$ 中前置负号移到分子中。

$9 \frac{- π}{12}$

解题步骤 5.10.2

从

$9$ 中分解出因数

$3$ 。

$3 (3) \frac{- π}{12}$

解题步骤 5.10.3

从

$12$ 中分解出因数

$3$ 。

$3 \cdot 3 \frac{- π}{3 \cdot 4}$

解题步骤 5.10.4

约去公因数。

$3 \cdot 3 \frac{- π}{3 \cdot 4}$

解题步骤 5.10.5

重写表达式。

$3 \frac{- π}{4}$

解题步骤 5.11

组合

$3$ 和

$\frac{- π}{4}$ 。

$\frac{3 (- π)}{4}$

解题步骤 5.12

将

$- 1$ 乘以

$3$ 。

$\frac{- 3 π}{4}$

解题步骤 5.13

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3 π}{4}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{3 π}{4}$

小数形式：

$- 2.35619449 \dots$

解题步骤 7

微积分学 示例

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