微积分学示例

$y = 9 x^{\frac{5}{2}} - 7 x^{\frac{3}{2}}$ , $x = 4$

解题步骤 1

根据加法法则， $9 x^{\frac{5}{2}} - 7 x^{\frac{3}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{3}{2}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{5}{2}}]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9 x^{\frac{5}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ 。

$9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{5}{2}$ 。

$9 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 2.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$9 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 2.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$9 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 2.5

在公分母上合并分子。

$9 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 2.6

化简分子。

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解题步骤 2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$9 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 2.6.2

从 $5$ 中减去 $2$ 。

$9 (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 2.7

组合 $\frac{5}{2}$ 和 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$9 \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 2.8

组合 $9$ 和 $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ 。

$\frac{9 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 2.9

将 $5$ 乘以 $9$ 。

$\frac{45 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{3}{2}}]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $- 7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 7 x^{\frac{3}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ 。

$\frac{45 x^{\frac{3}{2}}}{2} - 7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{3}{2}$ 。

$\frac{45 x^{\frac{3}{2}}}{2} - 7 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

解题步骤 3.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{45 x^{\frac{3}{2}}}{2} - 7 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

解题步骤 3.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{45 x^{\frac{3}{2}}}{2} - 7 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 3.5

在公分母上合并分子。

$\frac{45 x^{\frac{3}{2}}}{2} - 7 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 3.6

化简分子。

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解题步骤 3.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{45 x^{\frac{3}{2}}}{2} - 7 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

解题步骤 3.6.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$\frac{45 x^{\frac{3}{2}}}{2} - 7 (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 3.7

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{45 x^{\frac{3}{2}}}{2} - 7 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 3.8

组合 $- 7$ 和 $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ 。

$\frac{45 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{- 7 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

解题步骤 3.9

将 $3$ 乘以 $- 7$ 。

$\frac{45 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{- 21 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 3.10

将负号移到分数的前面。

$\frac{45 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{21 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 4

计算在 $x = 4$ 处的导数。

$\frac{45 {(4)}^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{21 {(4)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

在公分母上合并分子。

$\frac{45 {(4)}^{\frac{3}{2}} - 21 {(4)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 5.2

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{45 {(2^{2})}^{\frac{3}{2}} - 21 {(4)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 5.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{45 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - 21 {(4)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 5.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.1

约去公因数。

$\frac{45 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - 21 {(4)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 5.2.3.2

重写表达式。

$\frac{45 \cdot 2^{3} - 21 {(4)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 5.2.4

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{45 \cdot 8 - 21 {(4)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 5.2.5

将 $45$ 乘以 $8$ 。

$\frac{360 - 21 {(4)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 5.2.6

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{360 - 21 {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 5.2.7

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{360 - 21 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}}{2}$

解题步骤 5.2.8

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.8.1

约去公因数。

$\frac{360 - 21 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}}{2}$

解题步骤 5.2.8.2

重写表达式。

$\frac{360 - 21 \cdot 2^{1}}{2}$

解题步骤 5.2.9

计算指数。

$\frac{360 - 21 \cdot 2}{2}$

解题步骤 5.2.10

将 $- 21$ 乘以 $2$ 。

$\frac{360 - 42}{2}$

解题步骤 5.3

化简表达式。

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解题步骤 5.3.1

从 $360$ 中减去 $42$ 。

$\frac{318}{2}$

解题步骤 5.3.2

用 $318$ 除以 $2$ 。

$159$

微积分学 示例

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