微积分学示例

$lim_{t \to 0} \frac{\sin (t)}{e^{3 t} - 1}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{t \to 0} \sin (t)}{lim_{t \to 0} e^{3 t} - 1}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{\sin (lim_{t \to 0} t)}{lim_{t \to 0} e^{3 t} - 1}$

解题步骤 1.1.2.2

将 $0$ 代入 $t$ 来计算 $t$ 的极限值。

$\frac{\sin (0)}{lim_{t \to 0} e^{3 t} - 1}$

解题步骤 1.1.2.3

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0}{lim_{t \to 0} e^{3 t} - 1}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.3.1.1

当 $t$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{t \to 0} e^{3 t} - lim_{t \to 0} 1}$

解题步骤 1.1.3.1.2

将极限移入指数中。

$\frac{0}{e^{lim_{t \to 0} 3 t} - lim_{t \to 0} 1}$

解题步骤 1.1.3.1.3

因为项 $3$ 对于 $t$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{e^{3 lim_{t \to 0} t} - lim_{t \to 0} 1}$

解题步骤 1.1.3.1.4

计算 $1$ 的极限值，当 $t$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{e^{3 lim_{t \to 0} t} - 1 \cdot 1}$

解题步骤 1.1.3.2

将 $0$ 代入 $t$ 来计算 $t$ 的极限值。

$\frac{0}{e^{3 \cdot 0} - 1 \cdot 1}$

解题步骤 1.1.3.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.3.3.1.1

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{e^{0} - 1 \cdot 1}$

解题步骤 1.1.3.3.1.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

解题步骤 1.1.3.3.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0}{1 - 1}$

解题步骤 1.1.3.3.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{t \to 0} \frac{\sin (t)}{e^{3 t} - 1} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}{\frac{d}{d t} [e^{3 t} - 1]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}{\frac{d}{d t} [e^{3 t} - 1]}$

解题步骤 1.3.2

$\sin (t)$ 对 $t$ 的导数为 $\cos (t)$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{d}{d t} [e^{3 t} - 1]}$

解题步骤 1.3.3

根据加法法则， $e^{3 t} - 1$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [e^{3 t}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{d}{d t} [e^{3 t}] + \frac{d}{d t} [- 1]}$

解题步骤 1.3.4

计算 $\frac{d}{d t} [e^{3 t}]$ 。

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解题步骤 1.3.4.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = e^{t}$ 且 $g (t) = 3 t$ 。

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解题步骤 1.3.4.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 t$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 1]}$

解题步骤 1.3.4.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{e^{u} \frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 1]}$

解题步骤 1.3.4.1.3

使用 $3 t$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{e^{3 t} \frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 1]}$

解题步骤 1.3.4.2

因为 $3$ 对于 $t$ 是常数，所以 $3 t$ 对 $t$ 的导数是 $3 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{e^{3 t} (3 \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [- 1]}$

解题步骤 1.3.4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{e^{3 t} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- 1]}$

解题步骤 1.3.4.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{e^{3 t} \cdot 3 + \frac{d}{d t} [- 1]}$

解题步骤 1.3.4.5

将 $3$ 移到 $e^{3 t}$ 的左侧。

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{3 e^{3 t} + \frac{d}{d t} [- 1]}$

解题步骤 1.3.5

因为 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{3 e^{3 t} + 0}$

解题步骤 1.3.6

将 $3 e^{3 t}$ 和 $0$ 相加。

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{3 e^{3 t}}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

因为项 $\frac{1}{3}$ 对于 $t$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{3} lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{e^{3 t}}$

解题步骤 2.2

当 $t$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{t \to 0} \cos (t)}{lim_{t \to 0} e^{3 t}}$

解题步骤 2.3

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (lim_{t \to 0} t)}{lim_{t \to 0} e^{3 t}}$

解题步骤 2.4

将极限移入指数中。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (lim_{t \to 0} t)}{e^{lim_{t \to 0} 3 t}}$

解题步骤 2.5

因为项 $3$ 对于 $t$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (lim_{t \to 0} t)}{e^{3 lim_{t \to 0} t}}$

解题步骤 3

将 $0$ 代入所有出现 $t$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1

将 $0$ 代入 $t$ 来计算 $t$ 的极限值。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (0)}{e^{3 lim_{t \to 0} t}}$

解题步骤 3.2

将 $0$ 代入 $t$ 来计算 $t$ 的极限值。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (0)}{e^{3 \cdot 0}}$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

合并。

$\frac{1 \cos (0)}{3 e^{3 \cdot 0}}$

解题步骤 4.2

将 $\cos (0)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\cos (0)}{3 e^{3 \cdot 0}}$

解题步骤 4.3

化简分母。

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解题步骤 4.3.1

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{\cos (0)}{3 e^{0}}$

解题步骤 4.3.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{\cos (0)}{3 \cdot 1}$

解题步骤 4.4

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1}{3 \cdot 1}$

解题步骤 4.5

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{3}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1}{3}$

小数形式：

$0.\overline{3}$

微积分学 示例

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