微积分学示例

$y = \frac{1}{2} \tan (2 x)$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{2} \cdot \tan (2 x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$

解题步骤 1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \tan (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 1.2.2

$\tan (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\sec^{2} (u)$ 。

$\frac{1}{2} (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 1.2.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 1.3

求微分。

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解题步骤 1.3.1

组合 $\sec^{2} (2 x)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{\sec^{2} (2 x)}{2} \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.3.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{\sec^{2} (2 x)}{2} (2 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.3.3

化简项。

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解题步骤 1.3.3.1

组合 $2$ 和 $\frac{\sec^{2} (2 x)}{2}$ 。

$\frac{2 \sec^{2} (2 x)}{2} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.3.2.1

约去公因数。

$\frac{2 \sec^{2} (2 x)}{2} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.3.2.2

用 $\sec^{2} (2 x)$ 除以 $1$ 。

$\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\sec^{2} (2 x) \cdot 1$

解题步骤 1.3.5

将 $\sec^{2} (2 x)$ 乘以 $1$ 。

$\sec^{2} (2 x)$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \sec (2 x)$ 。

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解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\sec (2 x)$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (\sec (2 x))$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 2 u_{1} \frac{d}{d x} (\sec (2 x))$

解题步骤 2.1.3

使用 $\sec (2 x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$f'' (x) = 2 \sec (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x))$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sec (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $2 x$ 。

$f'' (x) = 2 \sec (2 x) (\frac{d}{d u (2)} (\sec (u_{2})) \frac{d}{d x} (2 x))$

解题步骤 2.2.2

$\sec (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ 。

$f'' (x) = 2 \sec (2 x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} (2 x))$

解题步骤 2.2.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$f'' (x) = 2 \sec (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

解题步骤 2.3

对 $\sec (2 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = 2 (\sec (2 x) \sec (2 x)) (\tan (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

解题步骤 2.4

对 $\sec (2 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = 2 (\sec (2 x) \sec (2 x)) (\tan (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

解题步骤 2.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = 2 {\sec (2 x)}^{1 + 1} (\tan (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

解题步骤 2.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = 2 \sec^{2} (2 x) (\tan (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

解题步骤 2.7

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 2 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.8

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = 4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) \cdot 1$

解题步骤 2.10

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$\sec^{2} (2 x) = 0$

解题步骤 4

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$\sec (2 x) = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 5

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 5.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$\sec (2 x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 5.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\sec (2 x) = \pm 0$

解题步骤 5.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$\sec (2 x) = 0$

解题步骤 6

正割函数的值域为 $y \leq - 1$ 和 $y \geq 1$ 。因为 $0$ 不在该值域内，所以无解。

无解

解题步骤 7

计算在 $x =$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$4 \sec^{2} (2) \tan (2)$

解题步骤 8

计算二阶导数。

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解题步骤 8.1

计算 $\sec (2)$ 。

$4 \cdot {1.00060954}^{2} \tan (2)$

解题步骤 8.2

对 $1.00060954$ 进行 $2$ 次方运算。

$4 \cdot 1.00121946 \tan (2)$

解题步骤 8.3

将 $4$ 乘以 $1.00121946$ 。

$4.00487784 \tan (2)$

解题步骤 8.4

计算 $\tan (2)$ 。

$4.00487784 \cdot 0.03492076$

解题步骤 8.5

将 $4.00487784$ 乘以 $0.03492076$ 。

$0.13985341$

解题步骤 9

因为二阶导数的值为正数，所以 $x =$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x =$ 是一个极小值

解题步骤 10

这些是 $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \tan (2 x)$ 的局部极值。

$(, i s a (l o c a l) (m i n i m u m))$ 是一个局部最小值

解题步骤 11

微积分学 示例

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