微积分学示例

$f (x) = \sin (x) - \cos (x)$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $\sin (x) - \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

解题步骤 1.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$\cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 1.3.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$\cos (x) - - \sin (x)$

解题步骤 1.3.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\cos (x) + 1 \sin (x)$

解题步骤 1.3.4

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$\cos (x) + \sin (x)$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $\cos (x) + \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \frac{d}{d x} (\sin (x))$

解题步骤 2.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$f'' (x) = - \sin (x) + \frac{d}{d x} (\sin (x))$

解题步骤 2.3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$f'' (x) = - \sin (x) + \cos (x)$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

解题步骤 4

将方程中的每一项都除以 $\cos (x)$ 。

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 5

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 5.1

约去公因数。

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 5.2

重写表达式。

$1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 6

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$1 + \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 7

分离分数。

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

解题步骤 8

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

解题步骤 9

用 $0$ 除以 $1$ 。

$1 + \tan (x) = 0 \sec (x)$

解题步骤 10

将 $0$ 乘以 $\sec (x)$ 。

$1 + \tan (x) = 0$

解题步骤 11

从等式两边同时减去 $1$ 。

$\tan (x) = - 1$

解题步骤 12

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x = \arctan (- 1)$

解题步骤 13

化简右边。

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解题步骤 13.1

$\arctan (- 1)$ 的准确值为 $- \frac{π}{4}$ 。

$x = - \frac{π}{4}$

解题步骤 14

正切函数在第二和第四象限为负值。若要求第二个解，应从 $π$ 中减去参考角以求得第三象限中的解。

$x = - \frac{π}{4} - π$

解题步骤 15

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 15.1

将 $2 π$ 加上 $- \frac{π}{4} - π$ 。

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

解题步骤 15.2

得出的角 $\frac{3 π}{4}$ 是正角度且与 $- \frac{π}{4} - π$ 共边。

$x = \frac{3 π}{4}$

解题步骤 16

方程 $x = - \frac{π}{4}$ 的解。

$x = - \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}$

解题步骤 17

计算在 $x = - \frac{π}{4}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- \sin (- \frac{π}{4}) + \cos (- \frac{π}{4})$

解题步骤 18

计算二阶导数。

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解题步骤 18.1

化简每一项。

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解题步骤 18.1.1

加上 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$- \sin (\frac{7 π}{4}) + \cos (- \frac{π}{4})$

解题步骤 18.1.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$- - \sin (\frac{π}{4}) + \cos (- \frac{π}{4})$

解题步骤 18.1.3

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- - \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (- \frac{π}{4})$

解题步骤 18.1.4

乘以 $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 18.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (- \frac{π}{4})$

解题步骤 18.1.4.2

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (- \frac{π}{4})$

解题步骤 18.1.5

加上 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 18.1.6

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{4})$

解题步骤 18.1.7

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 18.2

化简项。

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解题步骤 18.2.1

在公分母上合并分子。

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 18.2.2

将 $\sqrt{2}$ 和 $\sqrt{2}$ 相加。

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 18.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 18.2.3.1

约去公因数。

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 18.2.3.2

用 $\sqrt{2}$ 除以 $1$ 。

$\sqrt{2}$

解题步骤 19

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = - \frac{π}{4}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = - \frac{π}{4}$ 是一个极小值

解题步骤 20

求 $x = - \frac{π}{4}$ 时的 y 值。

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解题步骤 20.1

使用表达式中的 $- \frac{π}{4}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- \frac{π}{4}) = \sin (- \frac{π}{4}) - \cos (- \frac{π}{4})$

解题步骤 20.2

化简结果。

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解题步骤 20.2.1

化简每一项。

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解题步骤 20.2.1.1

加上 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$f (- \frac{π}{4}) = \sin (\frac{7 π}{4}) - \cos (- \frac{π}{4})$

解题步骤 20.2.1.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$f (- \frac{π}{4}) = - \sin (\frac{π}{4}) - \cos (- \frac{π}{4})$

解题步骤 20.2.1.3

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (- \frac{π}{4})$

解题步骤 20.2.1.4

加上 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 20.2.1.5

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

解题步骤 20.2.1.6

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 20.2.2

化简项。

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解题步骤 20.2.2.1

在公分母上合并分子。

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 20.2.2.2

从 $- \sqrt{2}$ 中减去 $\sqrt{2}$ 。

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 20.2.2.3

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 20.2.2.3.1

从 $- 2 \sqrt{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

解题步骤 20.2.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 20.2.2.3.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

解题步骤 20.2.2.3.2.2

约去公因数。

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 20.2.2.3.2.3

重写表达式。

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{- \sqrt{2}}{1}$

解题步骤 20.2.2.3.2.4

用 $- \sqrt{2}$ 除以 $1$ 。

$f (- \frac{π}{4}) = - \sqrt{2}$

解题步骤 20.2.3

最终答案为 $- \sqrt{2}$ 。

$y = - \sqrt{2}$

解题步骤 21

计算在 $x = \frac{3 π}{4}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- \sin (\frac{3 π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{4})$

解题步骤 22

计算二阶导数。

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解题步骤 22.1

化简每一项。

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解题步骤 22.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$- \sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{4})$

解题步骤 22.1.2

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{3 π}{4})$

解题步骤 22.1.3

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

解题步骤 22.1.4

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 22.2

化简项。

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解题步骤 22.2.1

在公分母上合并分子。

$\frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 22.2.2

从 $- \sqrt{2}$ 中减去 $\sqrt{2}$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 22.2.3

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 22.2.3.1

从 $- 2 \sqrt{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

解题步骤 22.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 22.2.3.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

解题步骤 22.2.3.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 22.2.3.2.3

重写表达式。

$\frac{- \sqrt{2}}{1}$

解题步骤 22.2.3.2.4

用 $- \sqrt{2}$ 除以 $1$ 。

$- \sqrt{2}$

解题步骤 23

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = \frac{3 π}{4}$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{3 π}{4}$ 是一个极大值

解题步骤 24

求 $x = \frac{3 π}{4}$ 时的 y 值。

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解题步骤 24.1

使用表达式中的 $\frac{3 π}{4}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{3 π}{4}) - \cos (\frac{3 π}{4})$

解题步骤 24.2

化简结果。

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解题步骤 24.2.1

化简每一项。

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解题步骤 24.2.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{3 π}{4})$

解题步骤 24.2.1.2

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{3 π}{4})$

解题步骤 24.2.1.3

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{4})$

解题步骤 24.2.1.4

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 24.2.1.5

乘以 $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 24.2.1.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 24.2.1.5.2

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 24.2.2

化简项。

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解题步骤 24.2.2.1

在公分母上合并分子。

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 24.2.2.2

将 $\sqrt{2}$ 和 $\sqrt{2}$ 相加。

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 24.2.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 24.2.2.3.1

约去公因数。

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 24.2.2.3.2

用 $\sqrt{2}$ 除以 $1$ 。

$f (\frac{3 π}{4}) = \sqrt{2}$

解题步骤 24.2.3

最终答案为 $\sqrt{2}$ 。

$y = \sqrt{2}$

解题步骤 25

这些是 $f (x) = \sin (x) - \cos (x)$ 的局部极值。

$(- \frac{π}{4}, - \sqrt{2})$ 是一个局部最小值

$(\frac{3 π}{4}, \sqrt{2})$ 是一个局部最大值

解题步骤 26

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