微积分学示例

$f (x) = x^{5} - 4 x^{3} + x^{2} + 2$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $x^{5} - 4 x^{3} + x^{2} + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$5 x^{4} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$5 x^{4} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.2.3

将 $3$ 乘以 $- 4$ 。

$5 x^{4} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.3

求微分。

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解题步骤 1.3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.3.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 2 x + 0$

解题步骤 1.3.3

将 $5 x^{4} - 12 x^{2} + 2 x$ 和 $0$ 相加。

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 2 x$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $5 x^{4} - 12 x^{2} + 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x)$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$f'' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x)$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$f'' (x) = 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x)$

解题步骤 2.2.3

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$f'' (x) = 20 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x)$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 12 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = 20 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (2 x)$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 20 x^{3} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (2 x)$

解题步骤 2.3.3

将 $2$ 乘以 $- 12$ 。

$f'' (x) = 20 x^{3} - 24 x + \frac{d}{d x} (2 x)$

解题步骤 2.4

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 2.4.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 20 x^{3} - 24 x + 2 \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 20 x^{3} - 24 x + 2 \cdot 1$

解题步骤 2.4.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 20 x^{3} - 24 x + 2$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 2 x = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

求微分。

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解题步骤 4.1.1.1

根据加法法则， $x^{5} - 4 x^{3} + x^{2} + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 4.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 4.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$5 x^{4} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$5 x^{4} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 4.1.2.3

将 $3$ 乘以 $- 4$ 。

$5 x^{4} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 4.1.3

求微分。

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解题步骤 4.1.3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 4.1.3.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 2 x + 0$

解题步骤 4.1.3.3

将 $5 x^{4} - 12 x^{2} + 2 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 5 x^{4} - 12 x^{2} + 2 x$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $5 x^{4} - 12 x^{2} + 2 x$ 。

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 2 x$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $5 x^{4} - 12 x^{2} + 2 x = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 2 x = 0$

解题步骤 5.2

画出方程每一边的图像。其解即为交点的 x 值。

$x \approx - 1.62662472, 0, 0.16866593, 1.45795878$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = - 1.62662472, 0, 0.16866593, 1.45795878$

解题步骤 8

计算在 $x = - 1.62662472$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$20 {(- 1.62662472)}^{3} - 24 \cdot - 1.62662472 + 2$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.1

对 $- 1.62662472$ 进行 $3$ 次方运算。

$20 \cdot - 4.30389932 - 24 \cdot - 1.62662472 + 2$

解题步骤 9.1.2

将 $20$ 乘以 $- 4.30389932$ 。

$- 86.07798657 - 24 \cdot - 1.62662472 + 2$

解题步骤 9.1.3

将 $- 24$ 乘以 $- 1.62662472$ 。

$- 86.07798657 + 39.03899328 + 2$

解题步骤 9.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 9.2.1

将 $- 86.07798657$ 和 $39.03899328$ 相加。

$- 47.03899328 + 2$

解题步骤 9.2.2

将 $- 47.03899328$ 和 $2$ 相加。

$- 45.03899328$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = - 1.62662472$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = - 1.62662472$ 是一个极大值

解题步骤 11

求 $x = - 1.62662472$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $- 1.62662472$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 1.62662472) = {(- 1.62662472)}^{5} - 4 {(- 1.62662472)}^{3} + {(- 1.62662472)}^{2} + 2$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1.1

对 $- 1.62662472$ 进行 $5$ 次方运算。

$f (- 1.62662472) = - 11.38772158 - 4 {(- 1.62662472)}^{3} + {(- 1.62662472)}^{2} + 2$

解题步骤 11.2.1.2

对 $- 1.62662472$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- 1.62662472) = - 11.38772158 - 4 \cdot - 4.30389932 + {(- 1.62662472)}^{2} + 2$

解题步骤 11.2.1.3

将 $- 4$ 乘以 $- 4.30389932$ 。

$f (- 1.62662472) = - 11.38772158 + 17.21559731 + {(- 1.62662472)}^{2} + 2$

解题步骤 11.2.1.4

对 $- 1.62662472$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 1.62662472) = - 11.38772158 + 17.21559731 + 2.64590798 + 2$

解题步骤 11.2.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 11.2.2.1

将 $- 11.38772158$ 和 $17.21559731$ 相加。

$f (- 1.62662472) = 5.82787573 + 2.64590798 + 2$

解题步骤 11.2.2.2

将 $5.82787573$ 和 $2.64590798$ 相加。

$f (- 1.62662472) = 8.47378371 + 2$

解题步骤 11.2.2.3

将 $8.47378371$ 和 $2$ 相加。

$f (- 1.62662472) = 10.47378371$

解题步骤 11.2.3

最终答案为 $10.47378371$ 。

$y = 10.47378371$

解题步骤 12

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$20 {(0)}^{3} - 24 \cdot 0 + 2$

解题步骤 13

计算二阶导数。

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解题步骤 13.1

化简每一项。

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解题步骤 13.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$20 \cdot 0 - 24 \cdot 0 + 2$

解题步骤 13.1.2

将 $20$ 乘以 $0$ 。

$0 - 24 \cdot 0 + 2$

解题步骤 13.1.3

将 $- 24$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0 + 2$

解题步骤 13.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 13.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0 + 2$

解题步骤 13.2.2

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$2$

解题步骤 14

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = 0$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 0$ 是一个极小值

解题步骤 15

求 $x = 0$ 时的 y 值。

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解题步骤 15.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = {(0)}^{5} - 4 {(0)}^{3} + {(0)}^{2} + 2$

解题步骤 15.2

化简结果。

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解题步骤 15.2.1

化简每一项。

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解题步骤 15.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 - 4 {(0)}^{3} + {(0)}^{2} + 2$

解题步骤 15.2.1.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 - 4 \cdot 0 + {(0)}^{2} + 2$

解题步骤 15.2.1.3

将 $- 4$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0 + {(0)}^{2} + 2$

解题步骤 15.2.1.4

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 2$

解题步骤 15.2.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 15.2.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 0 + 0 + 2$

解题步骤 15.2.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 0 + 2$

解题步骤 15.2.2.3

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$f (0) = 2$

解题步骤 15.2.3

最终答案为 $2$ 。

$y = 2$

解题步骤 16

计算在 $x = 0.16866593$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$20 {(0.16866593)}^{3} - 24 \cdot 0.16866593 + 2$

解题步骤 17

计算二阶导数。

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解题步骤 17.1

化简每一项。

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解题步骤 17.1.1

对 $0.16866593$ 进行 $3$ 次方运算。

$20 \cdot 0.00479824 - 24 \cdot 0.16866593 + 2$

解题步骤 17.1.2

将 $20$ 乘以 $0.00479824$ 。

$0.09596483 - 24 \cdot 0.16866593 + 2$

解题步骤 17.1.3

将 $- 24$ 乘以 $0.16866593$ 。

$0.09596483 - 4.0479824 + 2$

解题步骤 17.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 17.2.1

从 $0.09596483$ 中减去 $4.0479824$ 。

$- 3.95201757 + 2$

解题步骤 17.2.2

将 $- 3.95201757$ 和 $2$ 相加。

$- 1.95201757$

解题步骤 18

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = 0.16866593$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 0.16866593$ 是一个极大值

解题步骤 19

求 $x = 0.16866593$ 时的 y 值。

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解题步骤 19.1

使用表达式中的 $0.16866593$ 替换变量 $x$ 。

$f (0.16866593) = {(0.16866593)}^{5} - 4 {(0.16866593)}^{3} + {(0.16866593)}^{2} + 2$

解题步骤 19.2

化简结果。

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解题步骤 19.2.1

化简每一项。

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解题步骤 19.2.1.1

对 $0.16866593$ 进行 $5$ 次方运算。

$f (0.16866593) = 0.0001365 - 4 {(0.16866593)}^{3} + {(0.16866593)}^{2} + 2$

解题步骤 19.2.1.2

对 $0.16866593$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (0.16866593) = 0.0001365 - 4 \cdot 0.00479824 + {(0.16866593)}^{2} + 2$

解题步骤 19.2.1.3

将 $- 4$ 乘以 $0.00479824$ 。

$f (0.16866593) = 0.0001365 - 0.01919296 + {(0.16866593)}^{2} + 2$

解题步骤 19.2.1.4

对 $0.16866593$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (0.16866593) = 0.0001365 - 0.01919296 + 0.02844819 + 2$

解题步骤 19.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 19.2.2.1

从 $0.0001365$ 中减去 $0.01919296$ 。

$f (0.16866593) = - 0.01905646 + 0.02844819 + 2$

解题步骤 19.2.2.2

将 $- 0.01905646$ 和 $0.02844819$ 相加。

$f (0.16866593) = 0.00939173 + 2$

解题步骤 19.2.2.3

将 $0.00939173$ 和 $2$ 相加。

$f (0.16866593) = 2.00939173$

解题步骤 19.2.3

最终答案为 $2.00939173$ 。

$y = 2.00939173$

解题步骤 20

计算在 $x = 1.45795878$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$20 {(1.45795878)}^{3} - 24 \cdot 1.45795878 + 2$

解题步骤 21

计算二阶导数。

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解题步骤 21.1

化简每一项。

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解题步骤 21.1.1

对 $1.45795878$ 进行 $3$ 次方运算。

$20 \cdot 3.09910108 - 24 \cdot 1.45795878 + 2$

解题步骤 21.1.2

将 $20$ 乘以 $3.09910108$ 。

$61.98202173 - 24 \cdot 1.45795878 + 2$

解题步骤 21.1.3

将 $- 24$ 乘以 $1.45795878$ 。

$61.98202173 - 34.99101086 + 2$

解题步骤 21.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 21.2.1

从 $61.98202173$ 中减去 $34.99101086$ 。

$26.99101087 + 2$

解题步骤 21.2.2

将 $26.99101087$ 和 $2$ 相加。

$28.99101087$

解题步骤 22

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = 1.45795878$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 1.45795878$ 是一个极小值

解题步骤 23

求 $x = 1.45795878$ 时的 y 值。

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解题步骤 23.1

使用表达式中的 $1.45795878$ 替换变量 $x$ 。

$f (1.45795878) = {(1.45795878)}^{5} - 4 {(1.45795878)}^{3} + {(1.45795878)}^{2} + 2$

解题步骤 23.2

化简结果。

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解题步骤 23.2.1

化简每一项。

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解题步骤 23.2.1.1

对 $1.45795878$ 进行 $5$ 次方运算。

$f (1.45795878) = 6.58758507 - 4 {(1.45795878)}^{3} + {(1.45795878)}^{2} + 2$

解题步骤 23.2.1.2

对 $1.45795878$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (1.45795878) = 6.58758507 - 4 \cdot 3.09910108 + {(1.45795878)}^{2} + 2$

解题步骤 23.2.1.3

将 $- 4$ 乘以 $3.09910108$ 。

$f (1.45795878) = 6.58758507 - 12.39640434 + {(1.45795878)}^{2} + 2$

解题步骤 23.2.1.4

对 $1.45795878$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (1.45795878) = 6.58758507 - 12.39640434 + 2.12564382 + 2$

解题步骤 23.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 23.2.2.1

从 $6.58758507$ 中减去 $12.39640434$ 。

$f (1.45795878) = - 5.80881926 + 2.12564382 + 2$

解题步骤 23.2.2.2

将 $- 5.80881926$ 和 $2.12564382$ 相加。

$f (1.45795878) = - 3.68317544 + 2$

解题步骤 23.2.2.3

将 $- 3.68317544$ 和 $2$ 相加。

$f (1.45795878) = - 1.68317544$

解题步骤 23.2.3

最终答案为 $- 1.68317544$ 。

$y = - 1.68317544$

解题步骤 24

这些是 $f (x) = x^{5} - 4 x^{3} + x^{2} + 2$ 的局部极值。

$(- 1.62662472, 10.47378371)$ 是一个局部最大值

$(0, 2)$ 是一个局部最小值

$(0.16866593, 2.00939173)$ 是一个局部最大值

$(1.45795878, - 1.68317544)$ 是一个局部最小值

解题步骤 25

微积分学 示例

微积分学示例