微积分学示例

$\int 2 \sqrt{x} \sqrt{1 + {(\frac{1}{\sqrt{x}})}^{2}} d x$

解题步骤 1

化简。

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解题步骤 1.1

使用根数乘积法则进行合并。

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{1}{\sqrt{x}})}^{2}) x} d x$

解题步骤 1.2

将 $\frac{1}{\sqrt{x}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ 。

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}})}^{2}) x} d x$

解题步骤 1.3

合并和化简分母。

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解题步骤 1.3.1

将 $\frac{1}{\sqrt{x}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ 。

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}})}^{2}) x} d x$

解题步骤 1.3.2

对 $\sqrt{x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}})}^{2}) x} d x$

解题步骤 1.3.3

对 $\sqrt{x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}})}^{2}) x} d x$

解题步骤 1.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}})}^{2}) x} d x$

解题步骤 1.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}})}^{2}) x} d x$

解题步骤 1.3.6

将 ${\sqrt{x}}^{2}$ 重写为 $x$ 。

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解题步骤 1.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}) x} d x$

解题步骤 1.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}) x} d x$

解题步骤 1.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}})}^{2}) x} d x$

解题步骤 1.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.6.4.1

约去公因数。

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}})}^{2}) x} d x$

解题步骤 1.3.6.4.2

重写表达式。

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{x^{1}})}^{2}) x} d x$

解题步骤 1.3.6.5

化简。

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{x})}^{2}) x} d x$

解题步骤 1.4

对 $\frac{\sqrt{x}}{x}$ 运用乘积法则。

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{{\sqrt{x}}^{2}}{x^{2}}) x} d x$

解题步骤 1.5

将 ${\sqrt{x}}^{2}$ 重写为 $x$ 。

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解题步骤 1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{x^{2}}) x} d x$

解题步骤 1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{x^{2}}) x} d x$

解题步骤 1.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{x^{\frac{2}{2}}}{x^{2}}) x} d x$

解题步骤 1.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.4.1

约去公因数。

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{x^{\frac{2}{2}}}{x^{2}}) x} d x$

解题步骤 1.5.4.2

重写表达式。

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{x^{1}}{x^{2}}) x} d x$

解题步骤 1.5.5

化简。

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{x}{x^{2}}) x} d x$

解题步骤 1.6

约去 $x$ 和 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.6.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{x^{1}}{x^{2}}) x} d x$

解题步骤 1.6.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{x \cdot 1}{x^{2}}) x} d x$

解题步骤 1.6.3

约去公因数。

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解题步骤 1.6.3.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}) x} d x$

解题步骤 1.6.3.2

约去公因数。

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}) x} d x$

解题步骤 1.6.3.3

重写表达式。

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{1}{x}) x} d x$

解题步骤 1.7

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\int 2 \sqrt{(\frac{x}{x} + \frac{1}{x}) x} d x$

解题步骤 1.8

在公分母上合并分子。

$\int 2 \sqrt{\frac{x + 1}{x} x} d x$

解题步骤 1.9

组合 $\frac{x + 1}{x}$ 和 $x$ 。

$\int 2 \sqrt{\frac{(x + 1) x}{x}} d x$

解题步骤 1.10

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.10.1

约去公因数。

$\int 2 \sqrt{\frac{(x + 1) x}{x}} d x$

解题步骤 1.10.2

用 $x + 1$ 除以 $1$ 。

$\int 2 \sqrt{x + 1} d x$

解题步骤 2

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int \sqrt{x + 1} d x$

解题步骤 3

使 $u = x + 1$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 3.1

设 $u = x + 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 3.1.1

对 $x + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 3.1.2

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 3.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 3.1.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 3.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 3.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$2 \int \sqrt{u} d u$

解题步骤 4

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 \int u^{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 5

根据幂法则， $u^{\frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 。

$2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

将 $2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ 重写为 $2 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$ 。

$2 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 6.2

化简。

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解题步骤 6.2.1

组合 $2$ 和 $\frac{2}{3}$ 。

$\frac{2 \cdot 2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 6.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 7

使用 $x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{4}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + C$

微积分学 示例

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