微积分学示例

$\int \frac{a + b x^{2}}{\sqrt{3 a x + b x^{3}}} d a$

解题步骤 1

使 $u = 3 a x + b x^{3}$ 。然后使 $d u = 3 x d a$ ，以便 $\frac{1}{3 x} d u = d a$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 3 a x + b x^{3}$ 。求 $\frac{d u}{d a}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $3 a x + b x^{3}$ 求导。

$\frac{d}{d a} [3 a x + b x^{3}]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $3 a x + b x^{3}$ 对 $a$ 的导数是 $\frac{d}{d a} [3 a x] + \frac{d}{d a} [b x^{3}]$ 。

$\frac{d}{d a} [3 a x] + \frac{d}{d a} [b x^{3}]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d a} [3 a x]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $3 x$ 对于 $a$ 是常数，所以 $3 a x$ 对 $a$ 的导数是 $3 x \frac{d}{d a} [a]$ 。

$3 x \frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [b x^{3}]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ 等于 $n a^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 x \cdot 1 + \frac{d}{d a} [b x^{3}]$

解题步骤 1.1.3.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3 x + \frac{d}{d a} [b x^{3}]$

解题步骤 1.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.4.1

因为 $b x^{3}$ 对于 $a$ 是常数，所以 $b x^{3}$ 对 $a$ 的导数为 $0$ 。

$3 x + 0$

解题步骤 1.1.4.2

将 $3 x$ 和 $0$ 相加。

$3 x$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{\frac{u}{3 x} - \frac{b x^{2}}{3} + b x^{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

要将 $b x^{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\int \frac{\frac{u}{3 x} - \frac{b x^{2}}{3} + b x^{2} \cdot \frac{3}{3}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

解题步骤 2.2

组合 $b x^{2}$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\int \frac{\frac{u}{3 x} - \frac{b x^{2}}{3} + \frac{b x^{2} \cdot 3}{3}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

解题步骤 2.3

在公分母上合并分子。

$\int \frac{\frac{u}{3 x} + \frac{- b x^{2} + b x^{2} \cdot 3}{3}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

解题步骤 2.4

将 $3$ 移到 $b x^{2}$ 的左侧。

$\int \frac{\frac{u}{3 x} + \frac{- b x^{2} + 3 \cdot (b x^{2})}{3}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

解题步骤 2.5

将 $- b x^{2}$ 和 $3 b x^{2}$ 相加。

$\int \frac{\frac{u}{3 x} + \frac{2 b x^{2}}{3}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

解题步骤 2.6

将 $\frac{\frac{u}{3 x} + \frac{2 b x^{2}}{3}}{\sqrt{u}}$ 乘以 $\frac{3 x}{3 x}$ 。

$\int \frac{3 x}{3 x} \cdot \frac{\frac{u}{3 x} + \frac{2 b x^{2}}{3}}{\sqrt{u}} \frac{1}{3 x} d u$

解题步骤 2.7

合并。

$\int \frac{3 x (\frac{u}{3 x} + \frac{2 b x^{2}}{3})}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

解题步骤 2.8

运用分配律。

$\int \frac{3 x \frac{u}{3 x} + 3 x \frac{2 b x^{2}}{3}}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

解题步骤 2.9

约去 $3 x$ 的公因数。

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解题步骤 2.9.1

约去公因数。

$\int \frac{3 x \frac{u}{3 x} + 3 x \frac{2 b x^{2}}{3}}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

解题步骤 2.9.2

重写表达式。

$\int \frac{u + 3 x \frac{2 b x^{2}}{3}}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

解题步骤 2.10

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.10.1

从 $3 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$\int \frac{u + 3 (x) \frac{2 b x^{2}}{3}}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

解题步骤 2.10.2

约去公因数。

$\int \frac{u + 3 x \frac{2 b x^{2}}{3}}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

解题步骤 2.10.3

重写表达式。

$\int \frac{u + x (2 b x^{2})}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

解题步骤 2.11

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \frac{u + 2 b (x^{1} x^{2})}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

解题步骤 2.12

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int \frac{u + 2 b x^{1 + 2}}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

解题步骤 2.13

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\int \frac{u + 2 b x^{3}}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

解题步骤 2.14

将 $\frac{u + 2 b x^{3}}{3 x \sqrt{u}}$ 乘以 $\frac{1}{3 x}$ 。

$\int \frac{u + 2 b x^{3}}{3 x \sqrt{u} (3 x)} d u$

解题步骤 2.15

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\int \frac{u + 2 b x^{3}}{9 x \sqrt{u} x} d u$

解题步骤 2.16

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \frac{u + 2 b x^{3}}{9 (x^{1} x) \sqrt{u}} d u$

解题步骤 2.17

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \frac{u + 2 b x^{3}}{9 (x^{1} x^{1}) \sqrt{u}} d u$

解题步骤 2.18

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int \frac{u + 2 b x^{3}}{9 x^{1 + 1} \sqrt{u}} d u$

解题步骤 2.19

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int \frac{u + 2 b x^{3}}{9 x^{2} \sqrt{u}} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{9 x^{2}}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{9 x^{2}}$ 移到积分外。

$\frac{1}{9 x^{2}} \int \frac{u + 2 b x^{3}}{\sqrt{u}} d u$

解题步骤 4

应用指数的基本规则。

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解题步骤 4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{9 x^{2}} \int \frac{u + 2 b x^{3}}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

解题步骤 4.2

通过将 $u^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\frac{1}{9 x^{2}} \int (u + 2 b x^{3}) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

解题步骤 4.3

将 ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{9 x^{2}} \int (u + 2 b x^{3}) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

解题步骤 4.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{1}{9 x^{2}} \int (u + 2 b x^{3}) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

解题步骤 4.3.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{9 x^{2}} \int (u + 2 b x^{3}) u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 5

展开 $(u + 2 b x^{3}) u^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$\frac{1}{9 x^{2}} \int u \cdot u^{- \frac{1}{2}} + 2 b x^{3} u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 5.2

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{9 x^{2}} \int u^{1} u^{- \frac{1}{2}} + 2 b x^{3} u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 5.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{9 x^{2}} \int u^{1 - \frac{1}{2}} + 2 b x^{3} u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 5.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{1}{9 x^{2}} \int u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 2 b x^{3} u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 5.5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{9 x^{2}} \int u^{\frac{2 - 1}{2}} + 2 b x^{3} u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 5.6

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$\frac{1}{9 x^{2}} \int u^{\frac{1}{2}} + 2 b x^{3} u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 5.7

将 $u^{\frac{1}{2}}$ 和 $2 b x^{3} u^{- \frac{1}{2}}$ 重新排序。

$\frac{1}{9 x^{2}} \int 2 b x^{3} u^{- \frac{1}{2}} + u^{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 6

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{9 x^{2}} (\int 2 b x^{3} u^{- \frac{1}{2}} d u + \int u^{\frac{1}{2}} d u)$

解题步骤 7

由于 $2 b x^{3}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $2 b x^{3}$ 移到积分外。

$\frac{1}{9 x^{2}} (2 b x^{3} \int u^{- \frac{1}{2}} d u + \int u^{\frac{1}{2}} d u)$

解题步骤 8

根据幂法则， $u^{- \frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{9 x^{2}} (2 b x^{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) + \int u^{\frac{1}{2}} d u)$

解题步骤 9

根据幂法则， $u^{\frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{1}{9 x^{2}} (2 b x^{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $u^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{1}{9 x^{2}} (2 b x^{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C)$

解题步骤 10.2

化简。

$\frac{1}{9 x^{2}} (4 b x^{3} u^{\frac{1}{2}} + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

解题步骤 11

使用 $3 a x + b x^{3}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{9 x^{2}} (4 b x^{3} {(3 a x + b x^{3})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 {(3 a x + b x^{3})}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

解题步骤 12

重新排序项。

$\frac{1}{9 x^{2}} (4 b x^{3} {(3 a x + b x^{3})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{3} {(3 a x + b x^{3})}^{\frac{3}{2}}) + C$

微积分学 示例

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