微积分学示例

$\int \frac{x}{{(1 + 4 x)}^{2}} d x$

解题步骤 1

用部分分式分解写出分数。

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解题步骤 1.1

分解分数并乘以公分母。

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解题步骤 1.1.1

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $A$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{{(1 + 4 x)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $B$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{{(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{B}{1 + 4 x}$

解题步骤 1.1.3

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 ${(1 + 4 x)}^{2}$ 。

$\frac{x {(1 + 4 x)}^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} = \frac{(A) {(1 + 4 x)}^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{(B) {(1 + 4 x)}^{2}}{1 + 4 x}$

解题步骤 1.1.4

约去 ${(1 + 4 x)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.4.1

约去公因数。

$\frac{x {(1 + 4 x)}^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} = \frac{(A) {(1 + 4 x)}^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{(B) {(1 + 4 x)}^{2}}{1 + 4 x}$

解题步骤 1.1.4.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{(A) {(1 + 4 x)}^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{(B) {(1 + 4 x)}^{2}}{1 + 4 x}$

解题步骤 1.1.5

化简每一项。

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解题步骤 1.1.5.1

约去 ${(1 + 4 x)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.5.1.1

约去公因数。

$x = \frac{A {(1 + 4 x)}^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{(B) {(1 + 4 x)}^{2}}{1 + 4 x}$

解题步骤 1.1.5.1.2

用 $A$ 除以 $1$ 。

$x = A + \frac{(B) {(1 + 4 x)}^{2}}{1 + 4 x}$

解题步骤 1.1.5.2

约去 ${(1 + 4 x)}^{2}$ 和 $1 + 4 x$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.5.2.1

从 $(B) {(1 + 4 x)}^{2}$ 中分解出因数 $1 + 4 x$ 。

$x = A + \frac{(1 + 4 x) (B (1 + 4 x))}{1 + 4 x}$

解题步骤 1.1.5.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.5.2.2.1

乘以 $1$ 。

$x = A + \frac{(1 + 4 x) (B (1 + 4 x))}{(1 + 4 x) \cdot 1}$

解题步骤 1.1.5.2.2.2

约去公因数。

$x = A + \frac{(1 + 4 x) (B (1 + 4 x))}{(1 + 4 x) \cdot 1}$

解题步骤 1.1.5.2.2.3

重写表达式。

$x = A + \frac{B (1 + 4 x)}{1}$

解题步骤 1.1.5.2.2.4

用 $B (1 + 4 x)$ 除以 $1$ 。

$x = A + B (1 + 4 x)$

解题步骤 1.1.5.3

运用分配律。

$x = A + B \cdot 1 + B (4 x)$

解题步骤 1.1.5.4

将 $B$ 乘以 $1$ 。

$x = A + B + B (4 x)$

解题步骤 1.1.5.5

使用乘法的交换性质重写。

$x = A + B + 4 B x$

解题步骤 1.1.6

化简表达式。

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解题步骤 1.1.6.1

移动 $B$ 。

$x = A + B + 4 x B$

解题步骤 1.1.6.2

移动 $B$ 。

$x = A + 4 x B + B$

解题步骤 1.1.6.3

将 $A$ 和 $4 x B$ 重新排序。

$x = 4 x B + A + B$

解题步骤 1.2

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

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解题步骤 1.2.1

使方程两边 $x$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$1 = 4 B$

解题步骤 1.2.2

使方程两边不含 $x$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$0 = A + B$

解题步骤 1.2.3

建立方程组以求部分分式的系数。

$1 = 4 B$

$0 = A + B$

$1 = 4 B$

$0 = A + B$

解题步骤 1.3

求解方程组。

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解题步骤 1.3.1

在 $1 = 4 B$ 中求解 $B$ 。

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解题步骤 1.3.1.1

将方程重写为 $4 B = 1$ 。

$4 B = 1$

$0 = A + B$

解题步骤 1.3.1.2

将 $4 B = 1$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 1.3.1.2.1

将 $4 B = 1$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 B}{4} = \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

解题步骤 1.3.1.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.3.1.2.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.1.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 B}{4} = \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

解题步骤 1.3.1.2.2.1.2

用 $B$ 除以 $1$ 。

$B = \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

$B = \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

$B = \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

$B = \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

$B = \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

解题步骤 1.3.2

将每个方程中所有出现的 $B$ 替换成 $\frac{1}{4}$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

使用 $\frac{1}{4}$ 替换 $0 = A + B$ 中所有出现的 $B$ .

$0 = A + \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

解题步骤 1.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.3.2.2.1

去掉圆括号。

$0 = A + \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$0 = A + \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$0 = A + \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

解题步骤 1.3.3

在 $0 = A + \frac{1}{4}$ 中求解 $A$ 。

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解题步骤 1.3.3.1

将方程重写为 $A + \frac{1}{4} = 0$ 。

$A + \frac{1}{4} = 0$

$B = \frac{1}{4}$

解题步骤 1.3.3.2

从等式两边同时减去 $\frac{1}{4}$ 。

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

解题步骤 1.3.4

求解方程组。

$A = - \frac{1}{4} B = \frac{1}{4}$

解题步骤 1.3.5

列出所有解。

$A = - \frac{1}{4}, B = \frac{1}{4}$

解题步骤 1.4

将 $\frac{A}{{(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{B}{1 + 4 x}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 和 $B$ 的值。

$\frac{- \frac{1}{4}}{{(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{\frac{1}{4}}{1 + 4 x}$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

将分子乘以分母的倒数。

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{\frac{1}{4}}{1 + 4 x}$

解题步骤 1.5.2

将 $\frac{1}{{(1 + 4 x)}^{2}}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$- \frac{1}{{(1 + 4 x)}^{2} \cdot 4} + \frac{\frac{1}{4}}{1 + 4 x}$

解题步骤 1.5.3

将 $4$ 移到 ${(1 + 4 x)}^{2}$ 的左侧。

$- \frac{1}{4 {(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{\frac{1}{4}}{1 + 4 x}$

解题步骤 1.5.4

将分子乘以分母的倒数。

$- \frac{1}{4 {(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1 + 4 x}$

解题步骤 1.5.5

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{1}{1 + 4 x}$ 。

$\int - \frac{1}{4 {(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int - \frac{1}{4 {(1 + 4 x)}^{2}} d x + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

解题步骤 3

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int \frac{1}{4 {(1 + 4 x)}^{2}} d x + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$- (\frac{1}{4} \int \frac{1}{{(1 + 4 x)}^{2}} d x) + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

解题步骤 5

使 $u_{1} = 1 + 4 x$ 。然后使 $d u_{1} = 4 d x$ ，以便 $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 5.1

设 $u_{1} = 1 + 4 x$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 $1 + 4 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [1 + 4 x]$

解题步骤 5.1.2

求微分。

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解题步骤 5.1.2.1

根据加法法则， $1 + 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 5.1.2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 5.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [4 x]$ 。

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解题步骤 5.1.3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$0 + 4 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 + 4 \cdot 1$

解题步骤 5.1.3.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$0 + 4$

解题步骤 5.1.4

将 $0$ 和 $4$ 相加。

$4$

解题步骤 5.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} \cdot \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

将 $\frac{1}{{u_{1}}^{2}}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{{u_{1}}^{2} \cdot 4} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

解题步骤 6.2

将 $4$ 移到 ${u_{1}}^{2}$ 的左侧。

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{4 {u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

解题步骤 7

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$- \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1}) + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

解题步骤 8

化简表达式。

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解题步骤 8.1

化简。

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解题步骤 8.1.1

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$- \frac{1}{4 \cdot 4} \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

解题步骤 8.1.2

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$- \frac{1}{16} \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

解题步骤 8.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 8.2.1

通过将 ${u_{1}}^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$- \frac{1}{16} \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

解题步骤 8.2.2

将 ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 8.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{1}{16} \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

解题步骤 8.2.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{1}{16} \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

解题步骤 9

根据幂法则， ${u_{1}}^{- 2}$ 对 $u_{1}$ 的积分是 $- {u_{1}}^{- 1}$ 。

$- \frac{1}{16} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

解题步骤 10

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$- \frac{1}{16} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{1 + 4 x} d x$

解题步骤 11

使 $u_{2} = 1 + 4 x$ 。然后使 $d u_{2} = 4 d x$ ，以便 $\frac{1}{4} d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 11.1

设 $u_{2} = 1 + 4 x$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 11.1.1

对 $1 + 4 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [1 + 4 x]$

解题步骤 11.1.2

求微分。

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解题步骤 11.1.2.1

根据加法法则， $1 + 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 11.1.2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 11.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [4 x]$ 。

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解题步骤 11.1.3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$0 + 4 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 11.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 + 4 \cdot 1$

解题步骤 11.1.3.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$0 + 4$

解题步骤 11.1.4

将 $0$ 和 $4$ 相加。

$4$

解题步骤 11.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$- \frac{1}{16} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{4} d u_{2}$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

将 $\frac{1}{u_{2}}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$- \frac{1}{16} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{2} \cdot 4} d u_{2}$

解题步骤 12.2

将 $4$ 移到 $u_{2}$ 的左侧。

$- \frac{1}{16} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{4 u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 13

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$- \frac{1}{16} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

解题步骤 14

化简。

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解题步骤 14.1

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$- \frac{1}{16} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{4 \cdot 4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 14.2

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$- \frac{1}{16} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{16} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 15

$\frac{1}{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\ln (| u_{2} |)$ 。

$- \frac{1}{16} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{16} (\ln (| u_{2} |) + C)$

解题步骤 16

化简。

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解题步骤 16.1

化简。

$- \frac{1}{16} (- \frac{1}{u_{1}}) + \frac{1}{16} \ln (| u_{2} |) + C$

解题步骤 16.2

化简。

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解题步骤 16.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 (\frac{1}{16}) \frac{1}{u_{1}} + \frac{1}{16} \ln (| u_{2} |) + C$

解题步骤 16.2.2

将 $\frac{1}{16}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{16} \cdot \frac{1}{u_{1}} + \frac{1}{16} \ln (| u_{2} |) + C$

解题步骤 16.2.3

将 $\frac{1}{16}$ 乘以 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{16 u_{1}} + \frac{1}{16} \ln (| u_{2} |) + C$

解题步骤 17

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 17.1

使用 $1 + 4 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{16 (1 + 4 x)} + \frac{1}{16} \ln (| u_{2} |) + C$

解题步骤 17.2

使用 $1 + 4 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{16 (1 + 4 x)} + \frac{1}{16} \ln (| 1 + 4 x |) + C$

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