微积分学示例

$\frac{1}{2} \tan^{2} (x)$

解题步骤 1

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{2} \tan^{2} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \tan (x)$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\tan (x)$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{2} (2 u \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

解题步骤 2.3

使用 $\tan (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} (2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

解题步骤 3

化简项。

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解题步骤 3.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{2}{2} (\tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

解题步骤 3.2

组合 $\tan (x)$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\tan (x) \cdot 2}{2} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

解题步骤 3.3

将 $2$ 移到 $\tan (x)$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot \tan (x)}{2} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

解题步骤 3.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.1

约去公因数。

$\frac{2 \tan (x)}{2} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

解题步骤 3.4.2

用 $\tan (x)$ 除以 $1$ 。

$\tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

解题步骤 4

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$\tan (x) \sec^{2} (x)$

解题步骤 5

重新排序 $\tan (x) \sec^{2} (x)$ 的因式。

$\sec^{2} (x) \tan (x)$

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