微积分学示例

$lim_{x \to 1} \frac{5 - 5 x^{2}}{4 \tan (3 x - 3)}$

解题步骤 1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 1} 5 - 5 x^{2}}{lim_{x \to 1} 4 \tan (3 x - 3)}$

解题步骤 1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 1.2.1.1

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 1} 5 - lim_{x \to 1} 5 x^{2}}{lim_{x \to 1} 4 \tan (3 x - 3)}$

解题步骤 1.2.1.2

计算 $5$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$\frac{5 - lim_{x \to 1} 5 x^{2}}{lim_{x \to 1} 4 \tan (3 x - 3)}$

解题步骤 1.2.1.3

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{5 - 5 lim_{x \to 1} x^{2}}{lim_{x \to 1} 4 \tan (3 x - 3)}$

解题步骤 1.2.1.4

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{5 - 5 {(lim_{x \to 1} x)}^{2}}{lim_{x \to 1} 4 \tan (3 x - 3)}$

解题步骤 1.2.2

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{5 - 5 \cdot 1^{2}}{lim_{x \to 1} 4 \tan (3 x - 3)}$

解题步骤 1.2.3

化简答案。

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解题步骤 1.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.3.1.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{5 - 5 \cdot 1}{lim_{x \to 1} 4 \tan (3 x - 3)}$

解题步骤 1.2.3.1.2

将 $- 5$ 乘以 $1$ 。

$\frac{5 - 5}{lim_{x \to 1} 4 \tan (3 x - 3)}$

解题步骤 1.2.3.2

从 $5$ 中减去 $5$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 4 \tan (3 x - 3)}$

解题步骤 1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 1.3.1.1

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{4 lim_{x \to 1} \tan (3 x - 3)}$

解题步骤 1.3.1.2

因为正切是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$\frac{0}{4 \tan (lim_{x \to 1} 3 x - 3)}$

解题步骤 1.3.1.3

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{4 \tan (lim_{x \to 1} 3 x - lim_{x \to 1} 3)}$

解题步骤 1.3.1.4

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{4 \tan (3 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 3)}$

解题步骤 1.3.1.5

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{4 \tan (3 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 3)}$

解题步骤 1.3.2

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{4 \tan (3 \cdot 1 - 1 \cdot 3)}$

解题步骤 1.3.3

化简答案。

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解题步骤 1.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.3.1.1

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0}{4 \tan (3 - 1 \cdot 3)}$

解题步骤 1.3.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{0}{4 \tan (3 - 3)}$

解题步骤 1.3.3.2

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$\frac{0}{4 \tan (0)}$

解题步骤 1.3.3.3

$\tan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0}{4 \cdot 0}$

解题步骤 1.3.3.4

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.3.3.5

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 1} \frac{5 - 5 x^{2}}{4 \tan (3 x - 3)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [5 - 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4 \tan (3 x - 3)]}$

解题步骤 3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [5 - 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4 \tan (3 x - 3)]}$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $5 - 5 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4 \tan (3 x - 3)]}$

解题步骤 3.3

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4 \tan (3 x - 3)]}$

解题步骤 3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ 。

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解题步骤 3.4.1

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4 \tan (3 x - 3)]}$

解题步骤 3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 5 (2 x)}{\frac{d}{d x} [4 \tan (3 x - 3)]}$

解题步骤 3.4.3

将 $2$ 乘以 $- 5$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 10 x}{\frac{d}{d x} [4 \tan (3 x - 3)]}$

解题步骤 3.5

从 $0$ 中减去 $10 x$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{\frac{d}{d x} [4 \tan (3 x - 3)]}$

解题步骤 3.6

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 \tan (3 x - 3)$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [\tan (3 x - 3)]$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{4 \frac{d}{d x} [\tan (3 x - 3)]}$

解题步骤 3.7

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \tan (x)$ 且 $g (x) = 3 x - 3$ 。

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解题步骤 3.7.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 x - 3$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{4 (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 3])}$

解题步骤 3.7.2

$\tan (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\sec^{2} (u)$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{4 (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [3 x - 3])}$

解题步骤 3.7.3

使用 $3 x - 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{4 (\sec^{2} (3 x - 3) \frac{d}{d x} [3 x - 3])}$

解题步骤 3.8

去掉圆括号。

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{4 \sec^{2} (3 x - 3) \frac{d}{d x} [3 x - 3]}$

解题步骤 3.9

根据加法法则， $3 x - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{4 \sec^{2} (3 x - 3) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 3])}$

解题步骤 3.10

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{4 \sec^{2} (3 x - 3) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}$

解题步骤 3.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{4 \sec^{2} (3 x - 3) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])}$

解题步骤 3.12

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{4 \sec^{2} (3 x - 3) (3 + \frac{d}{d x} [- 3])}$

解题步骤 3.13

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{4 \sec^{2} (3 x - 3) (3 + 0)}$

解题步骤 3.14

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{4 \sec^{2} (3 x - 3) \cdot 3}$

解题步骤 3.15

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{12 \sec^{2} (3 x - 3)}$

解题步骤 4

约去 $- 10$ 和 $12$ 的公因数。

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解题步骤 4.1

从 $- 10 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{2 (- 5 x)}{12 \sec^{2} (3 x - 3)}$

解题步骤 4.2

约去公因数。

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解题步骤 4.2.1

从 $12 \sec^{2} (3 x - 3)$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{2 (- 5 x)}{2 (6 \sec^{2} (3 x - 3))}$

解题步骤 4.2.2

约去公因数。

$lim_{x \to 1} \frac{2 (- 5 x)}{2 (6 \sec^{2} (3 x - 3))}$

解题步骤 4.2.3

重写表达式。

$lim_{x \to 1} \frac{- 5 x}{6 \sec^{2} (3 x - 3)}$

解题步骤 5

因为项 $\frac{- 5}{6}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{- 5}{6} lim_{x \to 1} \frac{x}{\sec^{2} (3 x - 3)}$

解题步骤 6

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{- 5}{6} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} \sec^{2} (3 x - 3)}$

解题步骤 7

使用极限幂法则把 $\sec^{2} (3 x - 3)$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{- 5}{6} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x}{{(lim_{x \to 1} \sec (3 x - 3))}^{2}}$

解题步骤 8

因为正割是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$\frac{- 5}{6} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x}{\sec^{2} (lim_{x \to 1} 3 x - 3)}$

解题步骤 9

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{- 5}{6} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x}{\sec^{2} (lim_{x \to 1} 3 x - lim_{x \to 1} 3)}$

解题步骤 10

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{- 5}{6} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x}{\sec^{2} (3 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 3)}$

解题步骤 11

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$\frac{- 5}{6} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x}{\sec^{2} (3 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 3)}$

解题步骤 12

将 $1$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 12.1

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{- 5}{6} \cdot \frac{1}{\sec^{2} (3 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 3)}$

解题步骤 12.2

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{- 5}{6} \cdot \frac{1}{\sec^{2} (3 \cdot 1 - 1 \cdot 3)}$

解题步骤 13

化简答案。

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解题步骤 13.1

合并。

$\frac{- 5 \cdot 1}{6 \sec^{2} (3 \cdot 1 - 1 \cdot 3)}$

解题步骤 13.2

将 $- 5$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 5}{6 \sec^{2} (3 \cdot 1 - 1 \cdot 3)}$

解题步骤 13.3

化简分母。

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解题步骤 13.3.1

化简每一项。

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解题步骤 13.3.1.1

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 5}{6 \sec^{2} (3 - 1 \cdot 3)}$

解题步骤 13.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 5}{6 \sec^{2} (3 - 3)}$

解题步骤 13.3.2

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$\frac{- 5}{6 \sec^{2} (0)}$

解题步骤 13.3.3

$\sec (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{- 5}{6 \cdot 1^{2}}$

解题步骤 13.3.4

一的任意次幂都为一。

$\frac{- 5}{6 \cdot 1}$

解题步骤 13.4

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 5}{6}$

解题步骤 13.5

将负号移到分数的前面。

$- \frac{5}{6}$

微积分学 示例

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