微积分学示例

$\frac{1}{x \sqrt{x^{2} + 1}}$

解题步骤 1

将 $\frac{1}{x \sqrt{x^{2} + 1}}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{1}{x \sqrt{x^{2} + 1}}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{1}{x \sqrt{x^{2} + 1}} d x$

解题步骤 4

使 $x = \tan (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d x = \sec^{2} (t) d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $\sec^{2} (t)$ 为正数。

$\int \frac{1}{\tan (t) \sqrt{\tan^{2} (t) + 1}} \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 5

化简项。

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解题步骤 5.1

化简 $\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}$ 。

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解题步骤 5.1.1

使用勾股恒等式。

$\int \frac{1}{\tan (t) \sqrt{\sec^{2} (t)}} \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 5.1.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\int \frac{1}{\tan (t) \sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 5.2

化简项。

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解题步骤 5.2.1

约去 $\sec (t)$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.1

从 $\tan (t) \sec (t)$ 中分解出因数 $\sec (t)$ 。

$\int \frac{1}{\sec (t) \tan (t)} \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 5.2.1.2

从 $\sec^{2} (t)$ 中分解出因数 $\sec (t)$ 。

$\int \frac{1}{\sec (t) \tan (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t$

解题步骤 5.2.1.3

约去公因数。

$\int \frac{1}{\sec (t) \tan (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t$

解题步骤 5.2.1.4

重写表达式。

$\int \frac{1}{\tan (t)} \sec (t) d t$

解题步骤 5.2.2

组合 $\frac{1}{\tan (t)}$ 和 $\sec (t)$ 。

$\int \frac{\sec (t)}{\tan (t)} d t$

解题步骤 5.2.3

化简。

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解题步骤 5.2.3.1

将 $\tan (t)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\int \frac{\sec (t)}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} d t$

解题步骤 5.2.3.2

将 $\sec (t)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\int \frac{\frac{1}{\cos (t)}}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} d t$

解题步骤 5.2.3.3

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ 。

$\int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} d t$

解题步骤 5.2.3.4

约去 $\cos (t)$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.4.1

约去公因数。

$\int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} d t$

解题步骤 5.2.3.4.2

重写表达式。

$\int \frac{1}{\sin (t)} d t$

解题步骤 5.2.3.5

将 $\frac{1}{\sin (t)}$ 转换成 $\csc (t)$ 。

$\int \csc (t) d t$

解题步骤 6

$\csc (t)$ 对 $t$ 的积分为 $\ln (| \csc (t) - \cot (t) |)$ 。

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C$

解题步骤 7

使用 $\arctan (x)$ 替换所有出现的 $t$ 。

$\ln (| \csc (\arctan (x)) - \cot (\arctan (x)) |) + C$

解题步骤 8

答案是函数 $f (x) = \frac{1}{x \sqrt{x^{2} + 1}}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\ln (| \csc (\arctan (x)) - \cot (\arctan (x)) |) + C$

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