微积分学示例

$f (x) = x^{2} - 3 x + \frac{1}{x}$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int x^{2} - 3 x + \frac{1}{x} d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int x^{2} d x + \int - 3 x d x + \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int - 3 x d x + \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 5

由于 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 3$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 3 \int x d x + \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 7

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \ln (| x |) + C$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \ln (| x |) + C$

解题步骤 8.2

化简。

$\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + \ln (| x |) + C$

解题步骤 9

重新排序项。

$\frac{1}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C$

解题步骤 10

答案是函数 $f (x) = x^{2} - 3 x + \frac{1}{x}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C$

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