微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{9 x^{2} + 4 x^{5}}{- 7 x^{2}}$

解题步骤 1

因为项 $\frac{1}{- 7}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{- 7} lim_{x \to 0} \frac{9 x^{2} + 4 x^{5}}{x^{2}}$

解题步骤 2

运用洛必达法则。

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解题步骤 2.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 2.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 9 x^{2} + 4 x^{5}}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 2.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 2.1.2.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 9 x^{2} + lim_{x \to 0} 4 x^{5}}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 2.1.2.2

因为项 $9$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{9 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 4 x^{5}}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 2.1.2.3

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{9 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 4 x^{5}}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 2.1.2.4

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{9 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 4 lim_{x \to 0} x^{5}}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 2.1.2.5

使用极限幂法则把 $x^{5}$ 的指数 $5$ 移到极限外。

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{9 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 4 {(lim_{x \to 0} x)}^{5}}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 2.1.2.6

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 2.1.2.6.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{9 \cdot 0^{2} + 4 {(lim_{x \to 0} x)}^{5}}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 2.1.2.6.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{9 \cdot 0^{2} + 4 \cdot 0^{5}}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 2.1.2.7

化简答案。

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解题步骤 2.1.2.7.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.7.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{9 \cdot 0 + 4 \cdot 0^{5}}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 2.1.2.7.1.2

将 $9$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{0 + 4 \cdot 0^{5}}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 2.1.2.7.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{0 + 4 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 2.1.2.7.1.4

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 2.1.2.7.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 2.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 2.1.3.1

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{0}{0^{2}}$

解题步骤 2.1.3.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{0}{0}$

解题步骤 2.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{0}{0}$

解题步骤 2.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{0}{0}$

解题步骤 2.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{9 x^{2} + 4 x^{5}}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 4 x^{5}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 2.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 2.3.1

对分子和分母进行求导。

$\frac{1}{- 7} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 4 x^{5}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 2.3.2

根据加法法则， $9 x^{2} + 4 x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{5}]$ 。

$\frac{1}{- 7} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{5}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 2.3.3

计算 $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.3.3.1

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{1}{- 7} lim_{x \to 0} \frac{9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{5}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 2.3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{- 7} lim_{x \to 0} \frac{9 \cdot 2 x + \frac{d}{d x} [4 x^{5}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 2.3.3.3

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$\frac{1}{- 7} lim_{x \to 0} \frac{18 x + \frac{d}{d x} [4 x^{5}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 2.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{5}]$ 。

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解题步骤 2.3.4.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$\frac{1}{- 7} lim_{x \to 0} \frac{18 x + 4 \frac{d}{d x} [x^{5}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 2.3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$\frac{1}{- 7} lim_{x \to 0} \frac{18 x + 4 \cdot 5 x^{4}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 2.3.4.3

将 $5$ 乘以 $4$ 。

$\frac{1}{- 7} lim_{x \to 0} \frac{18 x + 20 x^{4}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 2.3.5

重新排序项。

$\frac{1}{- 7} lim_{x \to 0} \frac{20 x^{4} + 18 x}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 2.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{- 7} lim_{x \to 0} \frac{20 x^{4} + 18 x}{2 x}$

解题步骤 3

因为项 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{20 x^{4} + 18 x}{x}$

解题步骤 4

运用洛必达法则。

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解题步骤 4.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 4.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} \frac{lim_{x \to 0} 20 x^{4} + 18 x}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 4.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 4.1.2.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} \frac{lim_{x \to 0} 20 x^{4} + lim_{x \to 0} 18 x}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 4.1.2.2

因为项 $20$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} \frac{20 lim_{x \to 0} x^{4} + lim_{x \to 0} 18 x}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 4.1.2.3

使用极限幂法则把 $x^{4}$ 的指数 $4$ 移到极限外。

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} \frac{20 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} + lim_{x \to 0} 18 x}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 4.1.2.4

因为项 $18$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} \frac{20 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} + 18 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 4.1.2.5

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 4.1.2.5.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} \frac{20 \cdot 0^{4} + 18 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 4.1.2.5.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} \frac{20 \cdot 0^{4} + 18 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 4.1.2.6

化简答案。

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解题步骤 4.1.2.6.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.6.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} \frac{20 \cdot 0 + 18 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 4.1.2.6.1.2

将 $20$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} \frac{0 + 18 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 4.1.2.6.1.3

将 $18$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 4.1.2.6.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 4.1.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{0}$

解题步骤 4.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{0}$

解题步骤 4.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{20 x^{4} + 18 x}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [20 x^{4} + 18 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 4.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 4.3.1

对分子和分母进行求导。

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [20 x^{4} + 18 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 4.3.2

根据加法法则， $20 x^{4} + 18 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [20 x^{4}] + \frac{d}{d x} [18 x]$ 。

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [20 x^{4}] + \frac{d}{d x} [18 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 4.3.3

计算 $\frac{d}{d x} [20 x^{4}]$ 。

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解题步骤 4.3.3.1

因为 $20$ 对于 $x$ 是常数，所以 $20 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $20 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{20 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [18 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 4.3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{20 \cdot 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [18 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 4.3.3.3

将 $4$ 乘以 $20$ 。

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{80 x^{3} + \frac{d}{d x} [18 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 4.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [18 x]$ 。

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解题步骤 4.3.4.1

因为 $18$ 对于 $x$ 是常数，所以 $18 x$ 对 $x$ 的导数是 $18 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{80 x^{3} + 18 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 4.3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{80 x^{3} + 18 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 4.3.4.3

将 $18$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{80 x^{3} + 18}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 4.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{80 x^{3} + 18}{1}$

解题步骤 4.4

用 $80 x^{3} + 18$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} 80 x^{3} + 18$

解题步骤 5

计算极限值。

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解题步骤 5.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} (lim_{x \to 0} 80 x^{3} + lim_{x \to 0} 18)$

解题步骤 5.2

因为项 $80$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} (80 lim_{x \to 0} x^{3} + lim_{x \to 0} 18)$

解题步骤 5.3

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} (80 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + lim_{x \to 0} 18)$

解题步骤 5.4

计算 $18$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} (80 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + 18)$

解题步骤 6

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} (80 \cdot 0^{3} + 18)$

解题步骤 7

化简答案。

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解题步骤 7.1

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2} (80 \cdot 0^{3} + 18)$

解题步骤 7.2

乘以 $- \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 7.2.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{7}$ 。

$- \frac{1}{2 \cdot 7} (80 \cdot 0^{3} + 18)$

解题步骤 7.2.2

将 $2$ 乘以 $7$ 。

$- \frac{1}{14} (80 \cdot 0^{3} + 18)$

解题步骤 7.3

化简每一项。

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解题步骤 7.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- \frac{1}{14} (80 \cdot 0 + 18)$

解题步骤 7.3.2

将 $80$ 乘以 $0$ 。

$- \frac{1}{14} (0 + 18)$

解题步骤 7.4

将 $0$ 和 $18$ 相加。

$- \frac{1}{14} \cdot 18$

解题步骤 7.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.5.1

将 $- \frac{1}{14}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 1}{14} \cdot 18$

解题步骤 7.5.2

从 $14$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{- 1}{2 (7)} \cdot 18$

解题步骤 7.5.3

从 $18$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{- 1}{2 \cdot 7} \cdot (2 \cdot 9)$

解题步骤 7.5.4

约去公因数。

$\frac{- 1}{2 \cdot 7} \cdot (2 \cdot 9)$

解题步骤 7.5.5

重写表达式。

$\frac{- 1}{7} \cdot 9$

解题步骤 7.6

组合 $\frac{- 1}{7}$ 和 $9$ 。

$\frac{- 1 \cdot 9}{7}$

解题步骤 7.7

将 $- 1$ 乘以 $9$ 。

$\frac{- 9}{7}$

解题步骤 7.8

将负号移到分数的前面。

$- \frac{9}{7}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{9}{7}$

小数形式：

$- 1.\overline{285714}$

微积分学 示例

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