微积分学示例

$\int_{- 2}^{0} (\frac{1}{2} t^{4} + \frac{1}{4} t^{3} - t) d t$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$\int_{- 2}^{0} \frac{1}{2} t^{4} + \frac{1}{4} t^{3} - t d t$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{- 2}^{0} \frac{1}{2} t^{4} d t + \int_{- 2}^{0} \frac{1}{4} t^{3} d t + \int_{- 2}^{0} - t d t$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int_{- 2}^{0} t^{4} d t + \int_{- 2}^{0} \frac{1}{4} t^{3} d t + \int_{- 2}^{0} - t d t$

解题步骤 4

根据幂法则， $t^{4}$ 对 $t$ 的积分是 $\frac{1}{5} t^{5}$ 。

$\frac{1}{2} \frac{1}{5} t^{5}]_{- 2}^{0} + \int_{- 2}^{0} \frac{1}{4} t^{3} d t + \int_{- 2}^{0} - t d t$

解题步骤 5

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \frac{1}{5} t^{5}]_{- 2}^{0} + \frac{1}{4} \int_{- 2}^{0} t^{3} d t + \int_{- 2}^{0} - t d t$

解题步骤 6

根据幂法则， $t^{3}$ 对 $t$ 的积分是 $\frac{1}{4} t^{4}$ 。

$\frac{1}{2} \frac{1}{5} t^{5}]_{- 2}^{0} + \frac{1}{4} \frac{1}{4} t^{4}]_{- 2}^{0} + \int_{- 2}^{0} - t d t$

解题步骤 7

由于 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \frac{1}{5} t^{5}]_{- 2}^{0} + \frac{1}{4} \frac{1}{4} t^{4}]_{- 2}^{0} - \int_{- 2}^{0} t d t$

解题步骤 8

根据幂法则， $t$ 对 $t$ 的积分是 $\frac{1}{2} t^{2}$ 。

$\frac{1}{2} \frac{1}{5} t^{5}]_{- 2}^{0} + \frac{1}{4} \frac{1}{4} t^{4}]_{- 2}^{0} - (\frac{1}{2} t^{2}]_{- 2}^{0})$

解题步骤 9

化简答案。

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解题步骤 9.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $t^{2}$ 。

$\frac{1}{2} \frac{1}{5} t^{5}]_{- 2}^{0} + \frac{1}{4} \frac{1}{4} t^{4}]_{- 2}^{0} - (\frac{t^{2}}{2}]_{- 2}^{0})$

解题步骤 9.2

代入并化简。

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解题步骤 9.2.1

计算 $\frac{1}{5} t^{5}$ 在 $0$ 处和在 $- 2$ 处的值。

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{5} \cdot 0^{5}) - \frac{1}{5} {(- 2)}^{5}) + \frac{1}{4} \frac{1}{4} t^{4}]_{- 2}^{0} - (\frac{t^{2}}{2}]_{- 2}^{0})$

解题步骤 9.2.2

计算 $\frac{1}{4} t^{4}$ 在 $0$ 处和在 $- 2$ 处的值。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} - \frac{1}{5} {(- 2)}^{5}) + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - (\frac{t^{2}}{2}]_{- 2}^{0})$

解题步骤 9.2.3

计算 $\frac{t^{2}}{2}$ 在 $0$ 处和在 $- 2$ 处的值。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} - \frac{1}{5} {(- 2)}^{5}) + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

解题步骤 9.2.4

化简。

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解题步骤 9.2.4.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{5} \cdot 0 - \frac{1}{5} {(- 2)}^{5}) + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

解题步骤 9.2.4.2

将 $\frac{1}{5}$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{2} (0 - \frac{1}{5} {(- 2)}^{5}) + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

解题步骤 9.2.4.3

对 $- 2$ 进行 $5$ 次方运算。

$\frac{1}{2} (0 - \frac{1}{5} \cdot - 32) + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

解题步骤 9.2.4.4

将 $- 32$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} (0 + 32 (\frac{1}{5})) + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

解题步骤 9.2.4.5

组合 $32$ 和 $\frac{1}{5}$ 。

$\frac{1}{2} (0 + \frac{32}{5}) + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

解题步骤 9.2.4.6

将 $0$ 和 $\frac{32}{5}$ 相加。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{32}{5} + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

解题步骤 9.2.4.7

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{32}{5}$ 。

$\frac{32}{2 \cdot 5} + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

解题步骤 9.2.4.8

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$\frac{32}{10} + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

解题步骤 9.2.4.9

约去 $32$ 和 $10$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.4.9.1

从 $32$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (16)}{10} + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

解题步骤 9.2.4.9.2

约去公因数。

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解题步骤 9.2.4.9.2.1

从 $10$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 16}{2 \cdot 5} + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

解题步骤 9.2.4.9.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 16}{2 \cdot 5} + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

解题步骤 9.2.4.9.2.3

重写表达式。

$\frac{16}{5} + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

解题步骤 9.2.4.10

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{16}{5} + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

解题步骤 9.2.4.11

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $0$ 。

$\frac{16}{5} + \frac{1}{4} (0 - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

解题步骤 9.2.4.12

对 $- 2$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{16}{5} + \frac{1}{4} (0 - \frac{1}{4} \cdot 16) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

解题步骤 9.2.4.13

将 $16$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{16}{5} + \frac{1}{4} (0 - 16 (\frac{1}{4})) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

解题步骤 9.2.4.14

组合 $- 16$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{16}{5} + \frac{1}{4} (0 + \frac{- 16}{4}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

解题步骤 9.2.4.15

约去 $- 16$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.4.15.1

从 $- 16$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{16}{5} + \frac{1}{4} (0 + \frac{4 \cdot - 4}{4}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

解题步骤 9.2.4.15.2

约去公因数。

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解题步骤 9.2.4.15.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{16}{5} + \frac{1}{4} (0 + \frac{4 \cdot - 4}{4 (1)}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

解题步骤 9.2.4.15.2.2

约去公因数。

$\frac{16}{5} + \frac{1}{4} (0 + \frac{4 \cdot - 4}{4 \cdot 1}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

解题步骤 9.2.4.15.2.3

重写表达式。

$\frac{16}{5} + \frac{1}{4} (0 + \frac{- 4}{1}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

解题步骤 9.2.4.15.2.4

用 $- 4$ 除以 $1$ 。

$\frac{16}{5} + \frac{1}{4} (0 - 4) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

解题步骤 9.2.4.16

从 $0$ 中减去 $4$ 。

$\frac{16}{5} + \frac{1}{4} \cdot - 4 - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

解题步骤 9.2.4.17

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $- 4$ 。

$\frac{16}{5} + \frac{- 4}{4} - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

解题步骤 9.2.4.18

约去 $- 4$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.4.18.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{16}{5} + \frac{4 \cdot - 1}{4} - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

解题步骤 9.2.4.18.2

约去公因数。

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解题步骤 9.2.4.18.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{16}{5} + \frac{4 \cdot - 1}{4 (1)} - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

解题步骤 9.2.4.18.2.2

约去公因数。

$\frac{16}{5} + \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 1} - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

解题步骤 9.2.4.18.2.3

重写表达式。

$\frac{16}{5} + \frac{- 1}{1} - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

解题步骤 9.2.4.18.2.4

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$\frac{16}{5} - 1 - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

解题步骤 9.2.4.19

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{16}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5} - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

解题步骤 9.2.4.20

组合 $- 1$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{16}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5} - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

解题步骤 9.2.4.21

在公分母上合并分子。

$\frac{16 - 1 \cdot 5}{5} - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

解题步骤 9.2.4.22

化简分子。

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解题步骤 9.2.4.22.1

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$\frac{16 - 5}{5} - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

解题步骤 9.2.4.22.2

从 $16$ 中减去 $5$ 。

$\frac{11}{5} - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

解题步骤 9.2.4.23

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{11}{5} - (\frac{0}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

解题步骤 9.2.4.24

约去 $0$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.4.24.1

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{11}{5} - (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

解题步骤 9.2.4.24.2

约去公因数。

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解题步骤 9.2.4.24.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{11}{5} - (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

解题步骤 9.2.4.24.2.2

约去公因数。

$\frac{11}{5} - (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

解题步骤 9.2.4.24.2.3

重写表达式。

$\frac{11}{5} - (\frac{0}{1} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

解题步骤 9.2.4.24.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$\frac{11}{5} - (0 - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

解题步骤 9.2.4.25

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{11}{5} - (0 - \frac{4}{2})$

解题步骤 9.2.4.26

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.4.26.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{11}{5} - (0 - \frac{2 \cdot 2}{2})$

解题步骤 9.2.4.26.2

约去公因数。

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解题步骤 9.2.4.26.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{11}{5} - (0 - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)})$

解题步骤 9.2.4.26.2.2

约去公因数。

$\frac{11}{5} - (0 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1})$

解题步骤 9.2.4.26.2.3

重写表达式。

$\frac{11}{5} - (0 - \frac{2}{1})$

解题步骤 9.2.4.26.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$\frac{11}{5} - (0 - 1 \cdot 2)$

解题步骤 9.2.4.27

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{11}{5} - (0 - 2)$

解题步骤 9.2.4.28

从 $0$ 中减去 $2$ 。

$\frac{11}{5} - - 2$

解题步骤 9.2.4.29

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{11}{5} + 2$

解题步骤 9.2.4.30

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{11}{5} + 2 \cdot \frac{5}{5}$

解题步骤 9.2.4.31

组合 $2$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{11}{5} + \frac{2 \cdot 5}{5}$

解题步骤 9.2.4.32

在公分母上合并分子。

$\frac{11 + 2 \cdot 5}{5}$

解题步骤 9.2.4.33

化简分子。

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解题步骤 9.2.4.33.1

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$\frac{11 + 10}{5}$

解题步骤 9.2.4.33.2

将 $11$ 和 $10$ 相加。

$\frac{21}{5}$

解题步骤 10

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{21}{5}$

小数形式：

$4.2$

带分数形式：

$4 \frac{1}{5}$

解题步骤 11

微积分学 示例

微积分学示例