微积分学示例

$\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{x + 1}} d x$

解题步骤 1

使 $u = x + 1$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = x + 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $x + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 1.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = x + 1$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 0 + 1$

解题步骤 1.3

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = x + 1$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 1 + 1$

解题步骤 1.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$u_{upper} = 2$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{1}^{2} \frac{u - 1}{\sqrt{u}} d u$

解题步骤 2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int_{1}^{2} \frac{u - 1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

解题步骤 2.2

通过将 $u^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int_{1}^{2} (u - 1) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

解题步骤 2.3

将 ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int_{1}^{2} (u - 1) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

解题步骤 2.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\int_{1}^{2} (u - 1) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

解题步骤 2.3.3

将负号移到分数的前面。

$\int_{1}^{2} (u - 1) u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 3

展开 $(u - 1) u^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\int_{1}^{2} u \cdot u^{- \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 3.2

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int_{1}^{2} u^{1} u^{- \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int_{1}^{2} u^{1 - \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 3.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\int_{1}^{2} u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 3.5

在公分母上合并分子。

$\int_{1}^{2} u^{\frac{2 - 1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 3.6

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$\int_{1}^{2} u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 4

将 $- 1 u^{- \frac{1}{2}}$ 重写为 $- u^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\int_{1}^{2} u^{\frac{1}{2}} - u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{1}^{2} u^{\frac{1}{2}} d u + \int_{1}^{2} - u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 6

根据幂法则， $u^{\frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 7

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 8

根据幂法则， $u^{- \frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{2} - (2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{2})$

解题步骤 9

代入并化简。

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解题步骤 9.1

计算 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 在 $2$ 处和在 $1$ 处的值。

$(\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{2})$

解题步骤 9.2

计算 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 在 $2$ 处和在 $1$ 处的值。

$\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 9.3

化简。

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解题步骤 9.3.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $2^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 9.3.2

通过指数相加将 $2$ 乘以 $2^{\frac{3}{2}}$ 。

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解题步骤 9.3.2.1

将 $2$ 乘以 $2^{\frac{3}{2}}$ 。

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解题步骤 9.3.2.1.1

对 $2$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 9.3.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2^{1 + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 9.3.2.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 9.3.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{2^{\frac{2 + 3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 9.3.2.4

将 $2$ 和 $3$ 相加。

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 9.3.3

一的任意次幂都为一。

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1 - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 9.3.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 9.3.5

在公分母上合并分子。

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 9.3.6

通过指数相加将 $2$ 乘以 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 9.3.6.1

将 $2$ 乘以 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 9.3.6.1.1

对 $2$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} - (2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 9.3.6.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} - (2^{1 + \frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 9.3.6.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} - (2^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 9.3.6.3

在公分母上合并分子。

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} - (2^{\frac{2 + 1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 9.3.6.4

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} - (2^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 9.3.7

一的任意次幂都为一。

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} - (2^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 1)$

解题步骤 9.3.8

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} - (2^{\frac{3}{2}} - 2)$

解题步骤 9.3.9

要将 $- (2^{\frac{3}{2}} - 2)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} - (2^{\frac{3}{2}} - 2) \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 9.3.10

组合 $- (2^{\frac{3}{2}} - 2)$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} + \frac{- (2^{\frac{3}{2}} - 2) \cdot 3}{3}$

解题步骤 9.3.11

在公分母上合并分子。

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2 - (2^{\frac{3}{2}} - 2) \cdot 3}{3}$

解题步骤 9.3.12

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2 - 3 (2^{\frac{3}{2}} - 2)}{3}$

解题步骤 10

化简分子。

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解题步骤 10.1

运用分配律。

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2 - 3 \cdot 2^{\frac{3}{2}} - 3 \cdot - 2}{3}$

解题步骤 10.2

将 $- 3$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2 - 3 \cdot 2^{\frac{3}{2}} + 6}{3}$

解题步骤 10.3

将 $- 2$ 和 $6$ 相加。

$\frac{2^{\frac{5}{2}} + 4 - 3 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3}$

解题步骤 11

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{2^{\frac{5}{2}} + 4 - 3 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3}$

小数形式：

$0.39052429 \dots$

解题步骤 12

微积分学 示例

微积分学示例