微积分学示例

$f (x) = \frac{2}{5} x^{5} + 5 x^{4} + 16 x^{3} - 15$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则，

$\frac{2}{5} x^{5} + 5 x^{4} + 16 x^{3} - 15$ 对

$x$ 的导数是

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

解题步骤 1.2

计算

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{5} x^{5}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为

$\frac{2}{5}$ 对于

$x$ 是常数，所以

$\frac{2}{5} x^{5}$ 对

$x$ 的导数是

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 5$ 。

$\frac{2}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

解题步骤 1.2.3

组合

$5$ 和

$\frac{2}{5}$ 。

$\frac{5 \cdot 2}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

解题步骤 1.2.4

将

$5$ 乘以

$2$ 。

$\frac{10}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

解题步骤 1.2.5

组合

$\frac{10}{5}$ 和

$x^{4}$ 。

$\frac{10 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

解题步骤 1.2.6

约去

$10$ 和

$5$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.6.1

从

$10 x^{4}$ 中分解出因数

$5$ 。

$\frac{5 (2 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

解题步骤 1.2.6.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.6.2.1

从

$5$ 中分解出因数

$5$ 。

$\frac{5 (2 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

解题步骤 1.2.6.2.2

约去公因数。

$\frac{5 (2 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

解题步骤 1.2.6.2.3

重写表达式。

$\frac{2 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

解题步骤 1.2.6.2.4

用

$2 x^{4}$ 除以

$1$ 。

$2 x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

解题步骤 1.3

计算

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为

$5$ 对于

$x$ 是常数，所以

$5 x^{4}$ 对

$x$ 的导数是

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$2 x^{4} + 5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 4$ 。

$2 x^{4} + 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

解题步骤 1.3.3

将

$4$ 乘以

$5$ 。

$2 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

解题步骤 1.4

计算

$\frac{d}{d x} [16 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.4.1

因为

$16$ 对于

$x$ 是常数，所以

$16 x^{3}$ 对

$x$ 的导数是

$16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 16 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

解题步骤 1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 3$ 。

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 15]$

解题步骤 1.4.3

将

$3$ 乘以

$16$ 。

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 15]$

解题步骤 1.5

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.5.1

因为

$- 15$ 对于

$x$ 是常数，所以

$- 15$ 对

$x$ 的导数为

$0$ 。

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2} + 0$

解题步骤 1.5.2

将

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$ 和

$0$ 相加。

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则，

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$ 对

$x$ 的导数是

$\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{4}) + \frac{d}{d x} (20 x^{3}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2})$

解题步骤 2.2

计算

$\frac{d}{d x} [2 x^{4}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为

$2$ 对于

$x$ 是常数，所以

$2 x^{4}$ 对

$x$ 的导数是

$2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (20 x^{3}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2})$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 4$ 。

$f'' (x) = 2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (20 x^{3}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2})$

解题步骤 2.2.3

将

$4$ 乘以

$2$ 。

$f'' (x) = 8 x^{3} + \frac{d}{d x} (20 x^{3}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2})$

解题步骤 2.3

计算

$\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为

$20$ 对于

$x$ 是常数，所以

$20 x^{3}$ 对

$x$ 的导数是

$20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f'' (x) = 8 x^{3} + 20 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2})$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 3$ 。

$f'' (x) = 8 x^{3} + 20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2})$

解题步骤 2.3.3

将

$3$ 乘以

$20$ 。

$f'' (x) = 8 x^{3} + 60 x^{2} + \frac{d}{d x} (48 x^{2})$

解题步骤 2.4

计算

$\frac{d}{d x} [48 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.4.1

因为

$48$ 对于

$x$ 是常数，所以

$48 x^{2}$ 对

$x$ 的导数是

$48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = 8 x^{3} + 60 x^{2} + 48 \frac{d}{d x} (x^{2})$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 2$ 。

$f'' (x) = 8 x^{3} + 60 x^{2} + 48 (2 x)$

解题步骤 2.4.3

将

$2$ 乘以

$48$ 。

$f'' (x) = 8 x^{3} + 60 x^{2} + 96 x$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于

$0$ 并求解。

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2} = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

根据加法法则，

$\frac{2}{5} x^{5} + 5 x^{4} + 16 x^{3} - 15$ 对

$x$ 的导数是

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{2}{5} x^{5}) + \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15)$

解题步骤 4.1.2

计算

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{5} x^{5}]$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

因为

$\frac{2}{5}$ 对于

$x$ 是常数，所以

$\frac{2}{5} x^{5}$ 对

$x$ 的导数是

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$f' (x) = \frac{2}{5} \cdot \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15)$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 5$ 。

$f' (x) = \frac{2}{5} \cdot (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15)$

解题步骤 4.1.2.3

组合

$5$ 和

$\frac{2}{5}$ 。

$f' (x) = \frac{5 \cdot 2}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15)$

解题步骤 4.1.2.4

将

$5$ 乘以

$2$ 。

$f' (x) = \frac{10}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15)$

解题步骤 4.1.2.5

组合

$\frac{10}{5}$ 和

$x^{4}$ 。

$f' (x) = \frac{10 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15)$

解题步骤 4.1.2.6

约去

$10$ 和

$5$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.2.6.1

从

$10 x^{4}$ 中分解出因数

$5$ 。

$f' (x) = \frac{5 (2 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15)$

解题步骤 4.1.2.6.2

约去公因数。

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解题步骤 4.1.2.6.2.1

从

$5$ 中分解出因数

$5$ 。

$f' (x) = \frac{5 (2 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15)$

解题步骤 4.1.2.6.2.2

约去公因数。

$f' (x) = \frac{5 (2 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15)$

解题步骤 4.1.2.6.2.3

重写表达式。

$f' (x) = \frac{2 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15)$

解题步骤 4.1.2.6.2.4

用

$2 x^{4}$ 除以

$1$ 。

$f' (x) = 2 x^{4} + \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15)$

解题步骤 4.1.3

计算

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

因为

$5$ 对于

$x$ 是常数，所以

$5 x^{4}$ 对

$x$ 的导数是

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$f' (x) = 2 x^{4} + 5 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15)$

解题步骤 4.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 4$ 。

$f' (x) = 2 x^{4} + 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15)$

解题步骤 4.1.3.3

将

$4$ 乘以

$5$ 。

$f' (x) = 2 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15)$

解题步骤 4.1.4

计算

$\frac{d}{d x} [16 x^{3}]$ 。

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解题步骤 4.1.4.1

因为

$16$ 对于

$x$ 是常数，所以

$16 x^{3}$ 对

$x$ 的导数是

$16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f' (x) = 2 x^{4} + 20 x^{3} + 16 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15)$

解题步骤 4.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 3$ 。

$f' (x) = 2 x^{4} + 20 x^{3} + 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 15)$

解题步骤 4.1.4.3

将

$3$ 乘以

$16$ 。

$f' (x) = 2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 15)$

解题步骤 4.1.5

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.1.5.1

因为

$- 15$ 对于

$x$ 是常数，所以

$- 15$ 对

$x$ 的导数为

$0$ 。

$f' (x) = 2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2} + 0$

解题步骤 4.1.5.2

将

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$ 和

$0$ 相加。

$f' (x) = 2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对

$x$ 的一阶导数是

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$ 。

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于

$0$ ，然后求解方程

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2} = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于

$0$ 。

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2} = 0$

解题步骤 5.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 5.2.1

从

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$ 中分解出因数

$2 x^{2}$ 。

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解题步骤 5.2.1.1

从

$2 x^{4}$ 中分解出因数

$2 x^{2}$ 。

$2 x^{2} (x^{2}) + 20 x^{3} + 48 x^{2} = 0$

解题步骤 5.2.1.2

从

$20 x^{3}$ 中分解出因数

$2 x^{2}$ 。

$2 x^{2} (x^{2}) + 2 x^{2} (10 x) + 48 x^{2} = 0$

解题步骤 5.2.1.3

从

$48 x^{2}$ 中分解出因数

$2 x^{2}$ 。

$2 x^{2} (x^{2}) + 2 x^{2} (10 x) + 2 x^{2} (24) = 0$

解题步骤 5.2.1.4

从

$2 x^{2} (x^{2}) + 2 x^{2} (10 x)$ 中分解出因数

$2 x^{2}$ 。

$2 x^{2} (x^{2} + 10 x) + 2 x^{2} (24) = 0$

解题步骤 5.2.1.5

从

$2 x^{2} (x^{2} + 10 x) + 2 x^{2} (24)$ 中分解出因数

$2 x^{2}$ 。

$2 x^{2} (x^{2} + 10 x + 24) = 0$

解题步骤 5.2.2

因数。

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解题步骤 5.2.2.1

使用 AC 法来对

$x^{2} + 10 x + 24$ 进行因式分解。

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解题步骤 5.2.2.1.1

思考一下

$x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为

$c$ ，且和为

$b$ 。在本例中，其积即为

$24$ ，和为

$10$ 。

$4, 6$

解题步骤 5.2.2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$2 x^{2} ((x + 4) (x + 6)) = 0$

解题步骤 5.2.2.2

去掉多余的括号。

$2 x^{2} (x + 4) (x + 6) = 0$

解题步骤 5.3

如果等式左侧的任一因数等于

$0$ ，则整个表达式将等于

$0$ 。

$x^{2} = 0$

$x + 4 = 0$

$x + 6 = 0$

解题步骤 5.4

将

$x^{2}$ 设为等于

$0$ 并求解

$x$ 。

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解题步骤 5.4.1

将

$x^{2}$ 设为等于

$0$ 。

$x^{2} = 0$

解题步骤 5.4.2

求解

$x$ 的

$x^{2} = 0$ 。

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解题步骤 5.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 5.4.2.2

化简

$\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 5.4.2.2.1

将

$0$ 重写为

$0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 5.4.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 5.4.2.2.3

正负

$0$ 是

$0$ 。

$x = 0$

解题步骤 5.5

将

$x + 4$ 设为等于

$0$ 并求解

$x$ 。

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解题步骤 5.5.1

将

$x + 4$ 设为等于

$0$ 。

$x + 4 = 0$

解题步骤 5.5.2

从等式两边同时减去

$4$ 。

$x = - 4$

解题步骤 5.6

将

$x + 6$ 设为等于

$0$ 并求解

$x$ 。

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解题步骤 5.6.1

将

$x + 6$ 设为等于

$0$ 。

$x + 6 = 0$

解题步骤 5.6.2

从等式两边同时减去

$6$ 。

$x = - 6$

解题步骤 5.7

最终解为使

$2 x^{2} (x + 4) (x + 6) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, - 4, - 6$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 0, - 4, - 6$

解题步骤 8

计算在

$x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$8 {(0)}^{3} + 60 {(0)}^{2} + 96 (0)$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.1

对

$0$ 进行任意正数次方的运算均得到

$0$ 。

$8 \cdot 0 + 60 {(0)}^{2} + 96 (0)$

解题步骤 9.1.2

将

$8$ 乘以

$0$ 。

$0 + 60 {(0)}^{2} + 96 (0)$

解题步骤 9.1.3

对

$0$ 进行任意正数次方的运算均得到

$0$ 。

$0 + 60 \cdot 0 + 96 (0)$

解题步骤 9.1.4

将

$60$ 乘以

$0$ 。

$0 + 0 + 96 (0)$

解题步骤 9.1.5

将

$96$ 乘以

$0$ 。

$0 + 0 + 0$

解题步骤 9.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 9.2.1

将

$0$ 和

$0$ 相加。

$0 + 0$

解题步骤 9.2.2

将

$0$ 和

$0$ 相加。

$0$

解题步骤 10

因为至少有一个点是

$0$ 或使二阶导数无意义，所以使用一阶导数判别法。

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解题步骤 10.1

根据使一阶导数为

$0$ 或无意义的

$x$ 值，将

$(- \infty, \infty)$ 分割为不同的区间。

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, - 4) \cup (- 4, 0) \cup (0, \infty)$

解题步骤 10.2

将区间

$(- \infty, - 6)$ 内的任一数字（例如

$- 8$ ）代入一阶导数

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 10.2.1

使用表达式中的

$- 8$ 替换变量

$x$ 。

$f' (- 8) = 2 {(- 8)}^{4} + 20 {(- 8)}^{3} + 48 {(- 8)}^{2}$

解题步骤 10.2.2

化简结果。

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解题步骤 10.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 10.2.2.1.1

对

$- 8$ 进行

$4$ 次方运算。

$f' (- 8) = 2 \cdot 4096 + 20 {(- 8)}^{3} + 48 {(- 8)}^{2}$

解题步骤 10.2.2.1.2

将

$2$ 乘以

$4096$ 。

$f' (- 8) = 8192 + 20 {(- 8)}^{3} + 48 {(- 8)}^{2}$

解题步骤 10.2.2.1.3

对

$- 8$ 进行

$3$ 次方运算。

$f' (- 8) = 8192 + 20 \cdot - 512 + 48 {(- 8)}^{2}$

解题步骤 10.2.2.1.4

将

$20$ 乘以

$- 512$ 。

$f' (- 8) = 8192 - 10240 + 48 {(- 8)}^{2}$

解题步骤 10.2.2.1.5

对

$- 8$ 进行

$2$ 次方运算。

$f' (- 8) = 8192 - 10240 + 48 \cdot 64$

解题步骤 10.2.2.1.6

将

$48$ 乘以

$64$ 。

$f' (- 8) = 8192 - 10240 + 3072$

解题步骤 10.2.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 10.2.2.2.1

从

$8192$ 中减去

$10240$ 。

$f' (- 8) = - 2048 + 3072$

解题步骤 10.2.2.2.2

将

$- 2048$ 和

$3072$ 相加。

$f' (- 8) = 1024$

解题步骤 10.2.2.3

最终答案为

$1024$ 。

$1024$

解题步骤 10.3

将区间

$(- 6, - 4)$ 内的任一数字（例如

$- 5$ ）代入一阶导数

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 10.3.1

使用表达式中的

$- 5$ 替换变量

$x$ 。

$f' (- 5) = 2 {(- 5)}^{4} + 20 {(- 5)}^{3} + 48 {(- 5)}^{2}$

解题步骤 10.3.2

化简结果。

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解题步骤 10.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 10.3.2.1.1

对

$- 5$ 进行

$4$ 次方运算。

$f' (- 5) = 2 \cdot 625 + 20 {(- 5)}^{3} + 48 {(- 5)}^{2}$

解题步骤 10.3.2.1.2

将

$2$ 乘以

$625$ 。

$f' (- 5) = 1250 + 20 {(- 5)}^{3} + 48 {(- 5)}^{2}$

解题步骤 10.3.2.1.3

对

$- 5$ 进行

$3$ 次方运算。

$f' (- 5) = 1250 + 20 \cdot - 125 + 48 {(- 5)}^{2}$

解题步骤 10.3.2.1.4

将

$20$ 乘以

$- 125$ 。

$f' (- 5) = 1250 - 2500 + 48 {(- 5)}^{2}$

解题步骤 10.3.2.1.5

对

$- 5$ 进行

$2$ 次方运算。

$f' (- 5) = 1250 - 2500 + 48 \cdot 25$

解题步骤 10.3.2.1.6

将

$48$ 乘以

$25$ 。

$f' (- 5) = 1250 - 2500 + 1200$

解题步骤 10.3.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 10.3.2.2.1

从

$1250$ 中减去

$2500$ 。

$f' (- 5) = - 1250 + 1200$

解题步骤 10.3.2.2.2

将

$- 1250$ 和

$1200$ 相加。

$f' (- 5) = - 50$

解题步骤 10.3.2.3

最终答案为

$- 50$ 。

$- 50$

解题步骤 10.4

将区间

$(- 4, 0)$ 内的任一数字（例如

$- 2$ ）代入一阶导数

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 10.4.1

使用表达式中的

$- 2$ 替换变量

$x$ 。

$f' (- 2) = 2 {(- 2)}^{4} + 20 {(- 2)}^{3} + 48 {(- 2)}^{2}$

解题步骤 10.4.2

化简结果。

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解题步骤 10.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 10.4.2.1.1

对

$- 2$ 进行

$4$ 次方运算。

$f' (- 2) = 2 \cdot 16 + 20 {(- 2)}^{3} + 48 {(- 2)}^{2}$

解题步骤 10.4.2.1.2

将

$2$ 乘以

$16$ 。

$f' (- 2) = 32 + 20 {(- 2)}^{3} + 48 {(- 2)}^{2}$

解题步骤 10.4.2.1.3

对

$- 2$ 进行

$3$ 次方运算。

$f' (- 2) = 32 + 20 \cdot - 8 + 48 {(- 2)}^{2}$

解题步骤 10.4.2.1.4

将

$20$ 乘以

$- 8$ 。

$f' (- 2) = 32 - 160 + 48 {(- 2)}^{2}$

解题步骤 10.4.2.1.5

对

$- 2$ 进行

$2$ 次方运算。

$f' (- 2) = 32 - 160 + 48 \cdot 4$

解题步骤 10.4.2.1.6

将

$48$ 乘以

$4$ 。

$f' (- 2) = 32 - 160 + 192$

解题步骤 10.4.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 10.4.2.2.1

从

$32$ 中减去

$160$ 。

$f' (- 2) = - 128 + 192$

解题步骤 10.4.2.2.2

将

$- 128$ 和

$192$ 相加。

$f' (- 2) = 64$

解题步骤 10.4.2.3

最终答案为

$64$ 。

$64$

解题步骤 10.5

将区间

$(0, \infty)$ 内的任一数字（例如

$2$ ）代入一阶导数

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 10.5.1

使用表达式中的

$2$ 替换变量

$x$ 。

$f' (2) = 2 {(2)}^{4} + 20 {(2)}^{3} + 48 {(2)}^{2}$

解题步骤 10.5.2

化简结果。

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解题步骤 10.5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 10.5.2.1.1

通过指数相加将

$2$ 乘以

${(2)}^{4}$ 。

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解题步骤 10.5.2.1.1.1

将

$2$ 乘以

${(2)}^{4}$ 。

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解题步骤 10.5.2.1.1.1.1

对

$2$ 进行

$1$ 次方运算。

$f' (2) = 2 {(2)}^{4} + 20 {(2)}^{3} + 48 {(2)}^{2}$

解题步骤 10.5.2.1.1.1.2

使用幂法则

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (2) = 2^{1 + 4} + 20 {(2)}^{3} + 48 {(2)}^{2}$

解题步骤 10.5.2.1.1.2

将

$1$ 和

$4$ 相加。

$f' (2) = 2^{5} + 20 {(2)}^{3} + 48 {(2)}^{2}$

解题步骤 10.5.2.1.2

对

$2$ 进行

$5$ 次方运算。

$f' (2) = 32 + 20 {(2)}^{3} + 48 {(2)}^{2}$

解题步骤 10.5.2.1.3

对

$2$ 进行

$3$ 次方运算。

$f' (2) = 32 + 20 \cdot 8 + 48 {(2)}^{2}$

解题步骤 10.5.2.1.4

将

$20$ 乘以

$8$ 。

$f' (2) = 32 + 160 + 48 {(2)}^{2}$

解题步骤 10.5.2.1.5

对

$2$ 进行

$2$ 次方运算。

$f' (2) = 32 + 160 + 48 \cdot 4$

解题步骤 10.5.2.1.6

将

$48$ 乘以

$4$ 。

$f' (2) = 32 + 160 + 192$

解题步骤 10.5.2.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 10.5.2.2.1

将

$32$ 和

$160$ 相加。

$f' (2) = 192 + 192$

解题步骤 10.5.2.2.2

将

$192$ 和

$192$ 相加。

$f' (2) = 384$

解题步骤 10.5.2.3

最终答案为

$384$ 。

$384$

解题步骤 10.6

由于一阶导数在

$x = - 6$ 周围从正号变为负号，因此

$x = - 6$ 是极大值。

$x = - 6$ 是一个极大值

解题步骤 10.7

由于一阶导数在

$x = - 4$ 周围从负号变为正号，因此

$x = - 4$ 是极小值。

$x = - 4$ 是一个极小值

解题步骤 10.8

由于一阶导数在

$x = 0$ 周围没有改变符号，因此这不是极大值或极小值。

不存在极大值或极小值

解题步骤 10.9

这些是

$f (x) = \frac{2}{5} x^{5} + 5 x^{4} + 16 x^{3} - 15$ 的局部极值。

$x = - 6$ 是一个极大值

$x = - 4$ 是一个极小值

$x = - 6$ 是一个极大值

$x = - 4$ 是一个极小值

解题步骤 11

微积分学 示例

微积分学示例