微积分学示例

$x^{3} + 1$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $x^{3} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 x^{2} + 0$

解题步骤 1.4

将 $3 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$3 x^{2}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2})$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 3 (2 x)$

解题步骤 2.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = 6 x$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$3 x^{2} = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

根据加法法则， $x^{3} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 4.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 4.1.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 x^{2} + 0$

解题步骤 4.1.4

将 $3 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 3 x^{2}$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $3 x^{2}$ 。

$3 x^{2}$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $3 x^{2} = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$3 x^{2} = 0$

解题步骤 5.2

将 $3 x^{2} = 0$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 5.2.1

将 $3 x^{2} = 0$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

解题步骤 5.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

解题步骤 5.2.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{0}{3}$

解题步骤 5.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.2.3.1

用 $0$ 除以 $3$ 。

$x^{2} = 0$

解题步骤 5.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 5.4

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 5.4.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 5.4.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 5.4.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 0$

解题步骤 8

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$6 (0)$

解题步骤 9

将 $6$ 乘以 $0$ 。

$0$

解题步骤 10

因为至少有一个点是 $0$ 或使二阶导数无意义，所以使用一阶导数判别法。

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解题步骤 10.1

根据使一阶导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，将 $(- \infty, \infty)$ 分割为不同的区间。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

解题步骤 10.2

将区间 $(- \infty, 0)$ 内的任一数字（例如 $- 2$ ）代入一阶导数 $3 x^{2}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 10.2.1

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 2) = 3 {(- 2)}^{2}$

解题步骤 10.2.2

化简结果。

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解题步骤 10.2.2.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 2) = 3 \cdot 4$

解题步骤 10.2.2.2

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$f' (- 2) = 12$

解题步骤 10.2.2.3

最终答案为 $12$ 。

$12$

解题步骤 10.3

将区间 $(0, \infty)$ 内的任一数字（例如 $2$ ）代入一阶导数 $3 x^{2}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 10.3.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f' (2) = 3 {(2)}^{2}$

解题步骤 10.3.2

化简结果。

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解题步骤 10.3.2.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (2) = 3 \cdot 4$

解题步骤 10.3.2.2

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$f' (2) = 12$

解题步骤 10.3.2.3

最终答案为 $12$ 。

$12$

解题步骤 10.4

由于一阶导数在 $x = 0$ 周围没有改变符号，因此这不是极大值或极小值。

不存在极大值或极小值

解题步骤 10.5

对于 $f (x) = x^{3} + 1$ ，不存在局部最大值和最小值。

没有局部最大值或最小值

解题步骤 11

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