微积分学示例

$\cos (x) - \csc (x)$

解题步骤 1

根据加法法则， $\cos (x) - \csc (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \csc (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \csc (x)]$

解题步骤 2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$- \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \csc (x)]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [- \csc (x)]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \csc (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\csc (x)]$ 。

$- \sin (x) - \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

解题步骤 3.2

$\csc (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc (x) \cot (x)$ 。

$- \sin (x) - (- \csc (x) \cot (x))$

解题步骤 3.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \sin (x) + 1 (\csc (x) \cot (x))$

解题步骤 3.4

将 $\csc (x)$ 乘以 $1$ 。

$- \sin (x) + \csc (x) \cot (x)$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

重新排序项。

$\cot (x) \csc (x) - \sin (x)$

解题步骤 4.2

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1

将 $\cot (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \csc (x) - \sin (x)$

解题步骤 4.2.2

将 $\csc (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \sin (x)$

解题步骤 4.2.3

乘以 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$ 。

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解题步骤 4.2.3.1

将 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 乘以 $\frac{1}{\sin (x)}$ 。

$\frac{\cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} - \sin (x)$

解题步骤 4.2.3.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\cos (x)}{\sin^{1} (x) \sin (x)} - \sin (x)$

解题步骤 4.2.3.3

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\cos (x)}{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)} - \sin (x)$

解题步骤 4.2.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}} - \sin (x)$

解题步骤 4.2.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} - \sin (x)$

解题步骤 4.3

化简每一项。

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解题步骤 4.3.1

从 $\sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\frac{\cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} - \sin (x)$

解题步骤 4.3.2

分离分数。

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \sin (x)$

解题步骤 4.3.3

将 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 转换成 $\cot (x)$ 。

$\frac{1}{\sin (x)} \cot (x) - \sin (x)$

解题步骤 4.3.4

将 $\frac{1}{\sin (x)}$ 转换成 $\csc (x)$ 。

$\csc (x) \cot (x) - \sin (x)$

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