微积分学示例

$\sin (- 3 x^{2} - 3 x + 7)$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = - 3 x^{2} - 3 x + 7$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- 3 x^{2} - 3 x + 7$ 。

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [- 3 x^{2} - 3 x + 7]$

解题步骤 1.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$\cos (u) \frac{d}{d x} [- 3 x^{2} - 3 x + 7]$

解题步骤 1.3

使用 $- 3 x^{2} - 3 x + 7$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\cos (- 3 x^{2} - 3 x + 7) \frac{d}{d x} [- 3 x^{2} - 3 x + 7]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $- 3 x^{2} - 3 x + 7$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [7]$ 。

$\cos (- 3 x^{2} - 3 x + 7) (\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [7])$

解题步骤 2.2

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\cos (- 3 x^{2} - 3 x + 7) (- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [7])$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\cos (- 3 x^{2} - 3 x + 7) (- 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [7])$

解题步骤 2.4

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$\cos (- 3 x^{2} - 3 x + 7) (- 6 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [7])$

解题步骤 2.5

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\cos (- 3 x^{2} - 3 x + 7) (- 6 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7])$

解题步骤 2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\cos (- 3 x^{2} - 3 x + 7) (- 6 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7])$

解题步骤 2.7

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$\cos (- 3 x^{2} - 3 x + 7) (- 6 x - 3 + \frac{d}{d x} [7])$

解题步骤 2.8

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\cos (- 3 x^{2} - 3 x + 7) (- 6 x - 3 + 0)$

解题步骤 2.9

将 $- 6 x - 3$ 和 $0$ 相加。

$\cos (- 3 x^{2} - 3 x + 7) (- 6 x - 3)$

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