微积分学示例

${(x - 2)}^{3} {(x + 1)}^{4}$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = {(x - 2)}^{3}$ 且 $g (x) = {(x + 1)}^{4}$ 。

${(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{4}] + {(x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = x + 1$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x + 1$ 。

${(x - 2)}^{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

${(x - 2)}^{3} (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]$

解题步骤 2.3

使用 $x + 1$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

${(x - 2)}^{3} (4 {(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

将 $4$ 移到 ${(x - 2)}^{3}$ 的左侧。

$4 \cdot {(x - 2)}^{3} {(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x + 1] + {(x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$4 {(x - 2)}^{3} {(x + 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + {(x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 {(x - 2)}^{3} {(x + 1)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + {(x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]$

解题步骤 3.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 {(x - 2)}^{3} {(x + 1)}^{3} (1 + 0) + {(x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]$

解题步骤 3.5

化简表达式。

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解题步骤 3.5.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$4 {(x - 2)}^{3} {(x + 1)}^{3} \cdot 1 + {(x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]$

解题步骤 3.5.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4 {(x - 2)}^{3} {(x + 1)}^{3} + {(x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = x - 2$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x - 2$ 。

$4 {(x - 2)}^{3} {(x + 1)}^{3} + {(x + 1)}^{4} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [x - 2])$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$4 {(x - 2)}^{3} {(x + 1)}^{3} + {(x + 1)}^{4} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2])$

解题步骤 4.3

使用 $x - 2$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$4 {(x - 2)}^{3} {(x + 1)}^{3} + {(x + 1)}^{4} (3 {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2])$

解题步骤 5

求微分。

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解题步骤 5.1

将 $3$ 移到 ${(x + 1)}^{4}$ 的左侧。

$4 {(x - 2)}^{3} {(x + 1)}^{3} + 3 \cdot {(x + 1)}^{4} {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]$

解题步骤 5.2

根据加法法则， $x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$4 {(x - 2)}^{3} {(x + 1)}^{3} + 3 {(x + 1)}^{4} {(x - 2)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

解题步骤 5.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 {(x - 2)}^{3} {(x + 1)}^{3} + 3 {(x + 1)}^{4} {(x - 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])$

解题步骤 5.4

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 {(x - 2)}^{3} {(x + 1)}^{3} + 3 {(x + 1)}^{4} {(x - 2)}^{2} (1 + 0)$

解题步骤 5.5

化简表达式。

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解题步骤 5.5.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$4 {(x - 2)}^{3} {(x + 1)}^{3} + 3 {(x + 1)}^{4} {(x - 2)}^{2} \cdot 1$

解题步骤 5.5.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$4 {(x - 2)}^{3} {(x + 1)}^{3} + 3 {(x + 1)}^{4} {(x - 2)}^{2}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

从 $4 {(x - 2)}^{3} {(x + 1)}^{3} + 3 {(x + 1)}^{4} {(x - 2)}^{2}$ 中分解出因数 ${(x - 2)}^{2} {(x + 1)}^{3}$ 。

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解题步骤 6.1.1

从 $4 {(x - 2)}^{3} {(x + 1)}^{3}$ 中分解出因数 ${(x - 2)}^{2} {(x + 1)}^{3}$ 。

${(x - 2)}^{2} {(x + 1)}^{3} (4 (x - 2)) + 3 {(x + 1)}^{4} {(x - 2)}^{2}$

解题步骤 6.1.2

从 $3 {(x + 1)}^{4} {(x - 2)}^{2}$ 中分解出因数 ${(x - 2)}^{2} {(x + 1)}^{3}$ 。

${(x - 2)}^{2} {(x + 1)}^{3} (4 (x - 2)) + {(x - 2)}^{2} {(x + 1)}^{3} (3 (x + 1))$

解题步骤 6.1.3

从 ${(x - 2)}^{2} {(x + 1)}^{3} (4 (x - 2)) + {(x - 2)}^{2} {(x + 1)}^{3} (3 (x + 1))$ 中分解出因数 ${(x - 2)}^{2} {(x + 1)}^{3}$ 。

${(x - 2)}^{2} {(x + 1)}^{3} (4 (x - 2) + 3 (x + 1))$

解题步骤 6.2

重新排序 ${(x - 2)}^{2} {(x + 1)}^{3} (4 (x - 2) + 3 (x + 1))$ 的因式。

${(x + 1)}^{3} {(x - 2)}^{2} (4 (x - 2) + 3 (x + 1))$

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