微积分学示例

$\int \frac{5}{{(1 - x)}^{2}} d x$

解题步骤 1

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$5 \int \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} d x$

解题步骤 2

使 $u = 1 - x$ 。然后使 $d u = - d x$ ，以便 $- d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = 1 - x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

重写。

$\frac{- 1}{1}$

解题步骤 2.1.2

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$5 \int \frac{- 1}{u^{2}} d u$

解题步骤 3

将负号移到分数的前面。

$5 \int - \frac{1}{u^{2}} d u$

解题步骤 4

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$5 (- \int \frac{1}{u^{2}} d u)$

解题步骤 5

化简表达式。

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解题步骤 5.1

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$- 5 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

解题步骤 5.2

通过将 $u^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$- 5 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

解题步骤 5.3

将 ${(u^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- 5 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

解题步骤 5.3.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 5 \int u^{- 2} d u$

解题步骤 6

根据幂法则， $u^{- 2}$ 对 $u$ 的积分是 $- u^{- 1}$ 。

$- 5 (- u^{- 1} + C)$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

将 $- 5 (- u^{- 1} + C)$ 重写为 $- 5 (- \frac{1}{u}) + C$ 。

$- 5 (- \frac{1}{u}) + C$

解题步骤 7.2

化简。

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解题步骤 7.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 5$ 。

$5 \frac{1}{u} + C$

解题步骤 7.2.2

组合 $5$ 和 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{5}{u} + C$

解题步骤 8

使用 $1 - x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{5}{1 - x} + C$

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