微积分学示例

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos (2 x) e^{\sin (2 x)} d x$

解题步骤 1

使 $u_{2} = \sin (2 x)$ 。然后使 $d u_{2} = 2 \cos (2 x) d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{2} = \cos (2 x) d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u_{2} = \sin (2 x)$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $\sin (2 x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

解题步骤 1.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $2 x$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.1.2.2

$\sin (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\cos (u_{1})$ 。

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.1.2.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.1.3

求微分。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\cos (2 x) (2 \cdot 1)$

解题步骤 1.1.3.3

化简表达式。

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解题步骤 1.1.3.3.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\cos (2 x) \cdot 2$

解题步骤 1.1.3.3.2

将 $2$ 移到 $\cos (2 x)$ 的左侧。

$2 \cos (2 x)$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u_{2} = \sin (2 x)$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = \sin (2 \cdot 0)$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = \sin (0)$

解题步骤 1.3.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u_{2} = \sin (2 x)$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = \sin (2 \frac{π}{4})$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.1.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$u_{upper} = \sin (2 \frac{π}{2 (2)})$

解题步骤 1.5.1.2

约去公因数。

$u_{upper} = \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 2})$

解题步骤 1.5.1.3

重写表达式。

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 1.5.2

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$u_{upper} = 1$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

解题步骤 1.7

使用 $u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{0}^{1} e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 2

组合 $e^{u_{2}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\int_{0}^{1} \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 4

$e^{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $e^{u_{2}}$ 。

$\frac{1}{2} e^{u_{2}}]_{0}^{1}$

解题步骤 5

代入并化简。

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解题步骤 5.1

计算 $e^{u_{2}}$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$\frac{1}{2} ((e^{1}) - e^{0})$

解题步骤 5.2

化简。

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解题步骤 5.2.1

化简。

$\frac{1}{2} (e - e^{0})$

解题步骤 5.2.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{1}{2} (e - 1 \cdot 1)$

解题步骤 5.2.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} (e - 1)$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$\frac{1}{2} e + \frac{1}{2} \cdot - 1$

解题步骤 6.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $e$ 。

$\frac{e}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 1$

解题步骤 6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{e}{2} + \frac{- 1}{2}$

解题步骤 6.4

将负号移到分数的前面。

$\frac{e}{2} - \frac{1}{2}$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{e}{2} - \frac{1}{2}$

小数形式：

$0.85914091 \dots$

微积分学 示例

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