微积分学示例

$y = \frac{3}{\sin (x) + \cos (x)}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{3}{\sin (x) + \cos (x)})$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 3.1.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{3}{\sin (x) + \cos (x)}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)}]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)}]$

解题步骤 3.1.2

将 $\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)}$ 重写为 ${(\sin (x) + \cos (x))}^{- 1}$ 。

$3 \frac{d}{d x} [{(\sin (x) + \cos (x))}^{- 1}]$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = \sin (x) + \cos (x)$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\sin (x) + \cos (x)$ 。

$3 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

解题步骤 3.2.3

使用 $\sin (x) + \cos (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 (- {(\sin (x) + \cos (x))}^{- 2} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

解题步骤 3.3

使用求加法法则求导。

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解题步骤 3.3.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- 3 ({(\sin (x) + \cos (x))}^{- 2} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

解题步骤 3.3.2

根据加法法则， $\sin (x) + \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$- 3 {(\sin (x) + \cos (x))}^{- 2} (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

解题步骤 3.4

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$- 3 {(\sin (x) + \cos (x))}^{- 2} (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

解题步骤 3.5

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$- 3 {(\sin (x) + \cos (x))}^{- 2} (\cos (x) - \sin (x))$

解题步骤 3.6

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 3 \frac{1}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}} (\cos (x) - \sin (x))$

解题步骤 3.7

化简。

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解题步骤 3.7.1

合并项。

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解题步骤 3.7.1.1

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$ 。

$\frac{- 3}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}} (\cos (x) - \sin (x))$

解题步骤 3.7.1.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}} (\cos (x) - \sin (x))$

解题步骤 3.7.2

重新排序 $- \frac{3}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}} (\cos (x) - \sin (x))$ 的因式。

$- (\cos (x) - \sin (x)) \frac{3}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = - (\cos (x) - \sin (x)) \frac{3}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - (\cos (x) - \sin (x)) \frac{3}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

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