微积分学示例

$y = x^{2} {(2 x^{3} - 1)}^{3}$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = {(2 x^{3} - 1)}^{3}$ 。

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(2 x^{3} - 1)}^{3}] + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = 2 x^{3} - 1$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x^{3} - 1$ 。

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 1]) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 1]) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.3

使用 $2 x^{3} - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x^{2} (3 {(2 x^{3} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 1]) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $2 x^{3} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$x^{2} (3 {(2 x^{3} - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$x^{2} (3 {(2 x^{3} - 1)}^{2} (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$x^{2} (3 {(2 x^{3} - 1)}^{2} (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.4

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$x^{2} (3 {(2 x^{3} - 1)}^{2} (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x^{2} (3 {(2 x^{3} - 1)}^{2} (6 x^{2} + 0)) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.6

化简表达式。

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解题步骤 3.6.1

将 $6 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$x^{2} (3 {(2 x^{3} - 1)}^{2} (6 x^{2})) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.6.2

将 $6$ 乘以 $3$ 。

$x^{2} (18 {(2 x^{3} - 1)}^{2} x^{2}) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 4

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 4.1

移动 $x^{2}$ 。

$x^{2} x^{2} (18 {(2 x^{3} - 1)}^{2}) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{2 + 2} (18 {(2 x^{3} - 1)}^{2}) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 4.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$x^{4} (18 {(2 x^{3} - 1)}^{2}) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x^{4} (18 {(2 x^{3} - 1)}^{2}) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} (2 x)$

解题步骤 6

将 $2$ 移到 ${(2 x^{3} - 1)}^{3}$ 的左侧。

$x^{4} (18 {(2 x^{3} - 1)}^{2}) + 2 \cdot {(2 x^{3} - 1)}^{3} x$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

从 $x^{4} (18 {(2 x^{3} - 1)}^{2}) + 2 {(2 x^{3} - 1)}^{3} x$ 中分解出因数 $x \cdot 2 {(2 x^{3} - 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 7.1.1

从 $x^{4} (18 {(2 x^{3} - 1)}^{2})$ 中分解出因数 $x \cdot 2 {(2 x^{3} - 1)}^{2}$ 。

$x \cdot 2 {(2 x^{3} - 1)}^{2} (x^{3} \cdot (9)) + 2 {(2 x^{3} - 1)}^{3} x$

解题步骤 7.1.2

从 $2 {(2 x^{3} - 1)}^{3} x$ 中分解出因数 $x \cdot 2 {(2 x^{3} - 1)}^{2}$ 。

$x \cdot 2 {(2 x^{3} - 1)}^{2} (x^{3} \cdot (9)) + x \cdot 2 {(2 x^{3} - 1)}^{2} (2 x^{3} - 1)$

解题步骤 7.1.3

从 $x \cdot 2 {(2 x^{3} - 1)}^{2} (x^{3} \cdot (9)) + x \cdot 2 {(2 x^{3} - 1)}^{2} (2 x^{3} - 1)$ 中分解出因数 $x \cdot 2 {(2 x^{3} - 1)}^{2}$ 。

$x \cdot 2 {(2 x^{3} - 1)}^{2} (x^{3} \cdot (9) + 2 x^{3} - 1)$

解题步骤 7.2

合并项。

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解题步骤 7.2.1

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$2 \cdot x {(2 x^{3} - 1)}^{2} (x^{3} \cdot (9) + 2 x^{3} - 1)$

解题步骤 7.2.2

将 $9$ 移到 $x^{3}$ 的左侧。

$2 x {(2 x^{3} - 1)}^{2} (9 \cdot x^{3} + 2 x^{3} - 1)$

解题步骤 7.2.3

将 $9 x^{3}$ 和 $2 x^{3}$ 相加。

$2 x {(2 x^{3} - 1)}^{2} (11 x^{3} - 1)$

解题步骤 7.3

将 ${(2 x^{3} - 1)}^{2}$ 重写为 $(2 x^{3} - 1) (2 x^{3} - 1)$ 。

$2 x ((2 x^{3} - 1) (2 x^{3} - 1)) (11 x^{3} - 1)$

解题步骤 7.4

使用 FOIL 方法展开 $(2 x^{3} - 1) (2 x^{3} - 1)$ 。

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解题步骤 7.4.1

运用分配律。

$2 x (2 x^{3} (2 x^{3} - 1) - 1 (2 x^{3} - 1)) (11 x^{3} - 1)$

解题步骤 7.4.2

运用分配律。

$2 x (2 x^{3} (2 x^{3}) + 2 x^{3} \cdot - 1 - 1 (2 x^{3} - 1)) (11 x^{3} - 1)$

解题步骤 7.4.3

运用分配律。

$2 x (2 x^{3} (2 x^{3}) + 2 x^{3} \cdot - 1 - 1 (2 x^{3}) - 1 \cdot - 1) (11 x^{3} - 1)$

解题步骤 7.5

化简并合并同类项。

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解题步骤 7.5.1

化简每一项。

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解题步骤 7.5.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$2 x (2 \cdot 2 x^{3} x^{3} + 2 x^{3} \cdot - 1 - 1 (2 x^{3}) - 1 \cdot - 1) (11 x^{3} - 1)$

解题步骤 7.5.1.2

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 7.5.1.2.1

移动 $x^{3}$ 。

$2 x (2 \cdot 2 (x^{3} x^{3}) + 2 x^{3} \cdot - 1 - 1 (2 x^{3}) - 1 \cdot - 1) (11 x^{3} - 1)$

解题步骤 7.5.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 x (2 \cdot 2 x^{3 + 3} + 2 x^{3} \cdot - 1 - 1 (2 x^{3}) - 1 \cdot - 1) (11 x^{3} - 1)$

解题步骤 7.5.1.2.3

将 $3$ 和 $3$ 相加。

$2 x (2 \cdot 2 x^{6} + 2 x^{3} \cdot - 1 - 1 (2 x^{3}) - 1 \cdot - 1) (11 x^{3} - 1)$

解题步骤 7.5.1.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$2 x (4 x^{6} + 2 x^{3} \cdot - 1 - 1 (2 x^{3}) - 1 \cdot - 1) (11 x^{3} - 1)$

解题步骤 7.5.1.4

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$2 x (4 x^{6} - 2 x^{3} - 1 (2 x^{3}) - 1 \cdot - 1) (11 x^{3} - 1)$

解题步骤 7.5.1.5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$2 x (4 x^{6} - 2 x^{3} - 2 x^{3} - 1 \cdot - 1) (11 x^{3} - 1)$

解题步骤 7.5.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$2 x (4 x^{6} - 2 x^{3} - 2 x^{3} + 1) (11 x^{3} - 1)$

解题步骤 7.5.2

从 $- 2 x^{3}$ 中减去 $2 x^{3}$ 。

$2 x (4 x^{6} - 4 x^{3} + 1) (11 x^{3} - 1)$

解题步骤 7.6

运用分配律。

$(2 x (4 x^{6}) + 2 x (- 4 x^{3}) + 2 x \cdot 1) (11 x^{3} - 1)$

解题步骤 7.7

化简。

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解题步骤 7.7.1

使用乘法的交换性质重写。

$(2 \cdot 4 x \cdot x^{6} + 2 x (- 4 x^{3}) + 2 x \cdot 1) (11 x^{3} - 1)$

解题步骤 7.7.2

使用乘法的交换性质重写。

$(2 \cdot 4 x \cdot x^{6} + 2 \cdot - 4 x \cdot x^{3} + 2 x \cdot 1) (11 x^{3} - 1)$

解题步骤 7.7.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$(2 \cdot 4 x \cdot x^{6} + 2 \cdot - 4 x \cdot x^{3} + 2 x) (11 x^{3} - 1)$

解题步骤 7.8

化简每一项。

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解题步骤 7.8.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{6}$ 。

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解题步骤 7.8.1.1

移动 $x^{6}$ 。

$(2 \cdot 4 (x^{6} x) + 2 \cdot - 4 x \cdot x^{3} + 2 x) (11 x^{3} - 1)$

解题步骤 7.8.1.2

将 $x^{6}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 7.8.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$(2 \cdot 4 (x^{6} x^{1}) + 2 \cdot - 4 x \cdot x^{3} + 2 x) (11 x^{3} - 1)$

解题步骤 7.8.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(2 \cdot 4 x^{6 + 1} + 2 \cdot - 4 x \cdot x^{3} + 2 x) (11 x^{3} - 1)$

解题步骤 7.8.1.3

将 $6$ 和 $1$ 相加。

$(2 \cdot 4 x^{7} + 2 \cdot - 4 x \cdot x^{3} + 2 x) (11 x^{3} - 1)$

解题步骤 7.8.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$(8 x^{7} + 2 \cdot - 4 x \cdot x^{3} + 2 x) (11 x^{3} - 1)$

解题步骤 7.8.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 7.8.3.1

移动 $x^{3}$ 。

$(8 x^{7} + 2 \cdot - 4 (x^{3} x) + 2 x) (11 x^{3} - 1)$

解题步骤 7.8.3.2

将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 7.8.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$(8 x^{7} + 2 \cdot - 4 (x^{3} x^{1}) + 2 x) (11 x^{3} - 1)$

解题步骤 7.8.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(8 x^{7} + 2 \cdot - 4 x^{3 + 1} + 2 x) (11 x^{3} - 1)$

解题步骤 7.8.3.3

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$(8 x^{7} + 2 \cdot - 4 x^{4} + 2 x) (11 x^{3} - 1)$

解题步骤 7.8.4

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$(8 x^{7} - 8 x^{4} + 2 x) (11 x^{3} - 1)$

解题步骤 7.9

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(8 x^{7} - 8 x^{4} + 2 x) (11 x^{3} - 1)$ 。

$8 x^{7} (11 x^{3}) + 8 x^{7} \cdot - 1 - 8 x^{4} (11 x^{3}) - 8 x^{4} \cdot - 1 + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

解题步骤 7.10

化简每一项。

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解题步骤 7.10.1

使用乘法的交换性质重写。

$8 \cdot 11 x^{7} x^{3} + 8 x^{7} \cdot - 1 - 8 x^{4} (11 x^{3}) - 8 x^{4} \cdot - 1 + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

解题步骤 7.10.2

通过指数相加将 $x^{7}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 7.10.2.1

移动 $x^{3}$ 。

$8 \cdot 11 (x^{3} x^{7}) + 8 x^{7} \cdot - 1 - 8 x^{4} (11 x^{3}) - 8 x^{4} \cdot - 1 + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

解题步骤 7.10.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$8 \cdot 11 x^{3 + 7} + 8 x^{7} \cdot - 1 - 8 x^{4} (11 x^{3}) - 8 x^{4} \cdot - 1 + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

解题步骤 7.10.2.3

将 $3$ 和 $7$ 相加。

$8 \cdot 11 x^{10} + 8 x^{7} \cdot - 1 - 8 x^{4} (11 x^{3}) - 8 x^{4} \cdot - 1 + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

解题步骤 7.10.3

将 $8$ 乘以 $11$ 。

$88 x^{10} + 8 x^{7} \cdot - 1 - 8 x^{4} (11 x^{3}) - 8 x^{4} \cdot - 1 + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

解题步骤 7.10.4

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 8 x^{4} (11 x^{3}) - 8 x^{4} \cdot - 1 + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

解题步骤 7.10.5

使用乘法的交换性质重写。

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 8 \cdot 11 x^{4} x^{3} - 8 x^{4} \cdot - 1 + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

解题步骤 7.10.6

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 7.10.6.1

移动 $x^{3}$ 。

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 8 \cdot 11 (x^{3} x^{4}) - 8 x^{4} \cdot - 1 + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

解题步骤 7.10.6.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 8 \cdot 11 x^{3 + 4} - 8 x^{4} \cdot - 1 + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

解题步骤 7.10.6.3

将 $3$ 和 $4$ 相加。

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 8 \cdot 11 x^{7} - 8 x^{4} \cdot - 1 + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

解题步骤 7.10.7

将 $- 8$ 乘以 $11$ 。

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 88 x^{7} - 8 x^{4} \cdot - 1 + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

解题步骤 7.10.8

将 $- 1$ 乘以 $- 8$ 。

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 88 x^{7} + 8 x^{4} + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

解题步骤 7.10.9

使用乘法的交换性质重写。

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 88 x^{7} + 8 x^{4} + 2 \cdot 11 x \cdot x^{3} + 2 x \cdot - 1$

解题步骤 7.10.10

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 7.10.10.1

移动 $x^{3}$ 。

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 88 x^{7} + 8 x^{4} + 2 \cdot 11 (x^{3} x) + 2 x \cdot - 1$

解题步骤 7.10.10.2

将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 7.10.10.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 88 x^{7} + 8 x^{4} + 2 \cdot 11 (x^{3} x^{1}) + 2 x \cdot - 1$

解题步骤 7.10.10.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 88 x^{7} + 8 x^{4} + 2 \cdot 11 x^{3 + 1} + 2 x \cdot - 1$

解题步骤 7.10.10.3

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 88 x^{7} + 8 x^{4} + 2 \cdot 11 x^{4} + 2 x \cdot - 1$

解题步骤 7.10.11

将 $2$ 乘以 $11$ 。

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 88 x^{7} + 8 x^{4} + 22 x^{4} + 2 x \cdot - 1$

解题步骤 7.10.12

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 88 x^{7} + 8 x^{4} + 22 x^{4} - 2 x$

解题步骤 7.11

从 $- 8 x^{7}$ 中减去 $88 x^{7}$ 。

$88 x^{10} - 96 x^{7} + 8 x^{4} + 22 x^{4} - 2 x$

解题步骤 7.12

将 $8 x^{4}$ 和 $22 x^{4}$ 相加。

$88 x^{10} - 96 x^{7} + 30 x^{4} - 2 x$

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