微积分学示例

$\int \frac{16 x^{4} - 3 x^{3} + 8 x}{x^{3}} d x$

解题步骤 1

化简。

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解题步骤 1.1

从 $16 x^{4} - 3 x^{3} + 8 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 1.1.1

从 $16 x^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\int \frac{x (16 x^{3}) - 3 x^{3} + 8 x}{x^{3}} d x$

解题步骤 1.1.2

从 $- 3 x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\int \frac{x (16 x^{3}) + x (- 3 x^{2}) + 8 x}{x^{3}} d x$

解题步骤 1.1.3

从 $8 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\int \frac{x (16 x^{3}) + x (- 3 x^{2}) + x \cdot 8}{x^{3}} d x$

解题步骤 1.1.4

从 $x (16 x^{3}) + x (- 3 x^{2})$ 中分解出因数 $x$ 。

$\int \frac{x (16 x^{3} - 3 x^{2}) + x \cdot 8}{x^{3}} d x$

解题步骤 1.1.5

从 $x (16 x^{3} - 3 x^{2}) + x \cdot 8$ 中分解出因数 $x$ 。

$\int \frac{x (16 x^{3} - 3 x^{2} + 8)}{x^{3}} d x$

解题步骤 1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\int \frac{x (16 x^{3} - 3 x^{2} + 8)}{x \cdot x^{2}} d x$

解题步骤 1.2.2

约去公因数。

$\int \frac{x (16 x^{3} - 3 x^{2} + 8)}{x \cdot x^{2}} d x$

解题步骤 1.2.3

重写表达式。

$\int \frac{16 x^{3} - 3 x^{2} + 8}{x^{2}} d x$

解题步骤 2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.1

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int (16 x^{3} - 3 x^{2} + 8) {(x^{2})}^{- 1} d x$

解题步骤 2.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int (16 x^{3} - 3 x^{2} + 8) x^{2 \cdot - 1} d x$

解题步骤 2.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\int (16 x^{3} - 3 x^{2} + 8) x^{- 2} d x$

解题步骤 3

展开 $(16 x^{3} - 3 x^{2} + 8) x^{- 2}$ 。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\int (16 x^{3} - 3 x^{2}) x^{- 2} + 8 x^{- 2} d x$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$\int 16 x^{3} x^{- 2} - 3 x^{2} x^{- 2} + 8 x^{- 2} d x$

解题步骤 3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 16 x^{3 - 2} - 3 x^{2} x^{- 2} + 8 x^{- 2} d x$

解题步骤 3.4

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$\int 16 x^{1} - 3 x^{2} x^{- 2} + 8 x^{- 2} d x$

解题步骤 3.5

化简。

$\int 16 x - 3 x^{2} x^{- 2} + 8 x^{- 2} d x$

解题步骤 3.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 16 x - 3 x^{2 - 2} + 8 x^{- 2} d x$

解题步骤 3.7

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$\int 16 x - 3 x^{0} + 8 x^{- 2} d x$

解题步骤 3.8

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\int 16 x - 3 \cdot 1 + 8 x^{- 2} d x$

解题步骤 3.9

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$\int 16 x - 3 + 8 x^{- 2} d x$

解题步骤 3.10

移动 $- 3$ 。

$\int 16 x + 8 x^{- 2} - 3 d x$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 16 x d x + \int 8 x^{- 2} d x + \int - 3 d x$

解题步骤 5

由于 $16$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $16$ 移到积分外。

$16 \int x d x + \int 8 x^{- 2} d x + \int - 3 d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$16 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 8 x^{- 2} d x + \int - 3 d x$

解题步骤 7

由于 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $8$ 移到积分外。

$16 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 8 \int x^{- 2} d x + \int - 3 d x$

解题步骤 8

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$16 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 8 (- x^{- 1} + C) + \int - 3 d x$

解题步骤 9

应用常数不变法则。

$16 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 8 (- x^{- 1} + C) - 3 x + C$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$16 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 8 (- x^{- 1} + C) - 3 x + C$

解题步骤 10.2

化简。

$8 x^{2} - \frac{8}{x} - 3 x + C$

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