微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{4 \ln (1 - 2 x) + 2 x^{3}}{5 x^{2} + 4 x}$

解题步骤 1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0} 4 \ln (1 - 2 x) + 2 x^{3}}{lim_{x \to 0} 5 x^{2} + 4 x}$

解题步骤 1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.2.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} 4 \ln (1 - 2 x) + lim_{x \to 0} 2 x^{3}}{lim_{x \to 0} 5 x^{2} + 4 x}$

解题步骤 1.2.2

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{4 lim_{x \to 0} \ln (1 - 2 x) + lim_{x \to 0} 2 x^{3}}{lim_{x \to 0} 5 x^{2} + 4 x}$

解题步骤 1.2.3

将极限移入对数中。

$\frac{4 \ln (lim_{x \to 0} 1 - 2 x) + lim_{x \to 0} 2 x^{3}}{lim_{x \to 0} 5 x^{2} + 4 x}$

解题步骤 1.2.4

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{4 \ln (lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 2 x) + lim_{x \to 0} 2 x^{3}}{lim_{x \to 0} 5 x^{2} + 4 x}$

解题步骤 1.2.5

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{4 \ln (1 - lim_{x \to 0} 2 x) + lim_{x \to 0} 2 x^{3}}{lim_{x \to 0} 5 x^{2} + 4 x}$

解题步骤 1.2.6

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{4 \ln (1 - 2 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 2 x^{3}}{lim_{x \to 0} 5 x^{2} + 4 x}$

解题步骤 1.2.7

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{4 \ln (1 - 2 lim_{x \to 0} x) + 2 lim_{x \to 0} x^{3}}{lim_{x \to 0} 5 x^{2} + 4 x}$

解题步骤 1.2.8

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{4 \ln (1 - 2 lim_{x \to 0} x) + 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}{lim_{x \to 0} 5 x^{2} + 4 x}$

解题步骤 1.2.9

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.2.9.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{4 \ln (1 - 2 \cdot 0) + 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}{lim_{x \to 0} 5 x^{2} + 4 x}$

解题步骤 1.2.9.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{4 \ln (1 - 2 \cdot 0) + 2 \cdot 0^{3}}{lim_{x \to 0} 5 x^{2} + 4 x}$

解题步骤 1.2.10

化简答案。

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解题步骤 1.2.10.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.10.1.1

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{4 \ln (1 + 0) + 2 \cdot 0^{3}}{lim_{x \to 0} 5 x^{2} + 4 x}$

解题步骤 1.2.10.1.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{4 \ln (1) + 2 \cdot 0^{3}}{lim_{x \to 0} 5 x^{2} + 4 x}$

解题步骤 1.2.10.1.3

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$\frac{4 \cdot 0 + 2 \cdot 0^{3}}{lim_{x \to 0} 5 x^{2} + 4 x}$

解题步骤 1.2.10.1.4

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 + 2 \cdot 0^{3}}{lim_{x \to 0} 5 x^{2} + 4 x}$

解题步骤 1.2.10.1.5

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{0 + 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} 5 x^{2} + 4 x}$

解题步骤 1.2.10.1.6

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} 5 x^{2} + 4 x}$

解题步骤 1.2.10.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 5 x^{2} + 4 x}$

解题步骤 1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.3.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 5 x^{2} + lim_{x \to 0} 4 x}$

解题步骤 1.3.2

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{5 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 4 x}$

解题步骤 1.3.3

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{0}{5 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 4 x}$

解题步骤 1.3.4

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{5 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 4 lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.3.5

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.3.5.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{5 \cdot 0^{2} + 4 lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.3.5.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{5 \cdot 0^{2} + 4 \cdot 0}$

解题步骤 1.3.6

化简答案。

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解题步骤 1.3.6.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.6.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{0}{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0}$

解题步骤 1.3.6.1.2

将 $5$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{0 + 4 \cdot 0}$

解题步骤 1.3.6.1.3

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{0 + 0}$

解题步骤 1.3.6.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.3.6.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.3.7

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{4 \ln (1 - 2 x) + 2 x^{3}}{5 x^{2} + 4 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 \ln (1 - 2 x) + 2 x^{3}]}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4 x]}$

解题步骤 3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 \ln (1 - 2 x) + 2 x^{3}]}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4 x]}$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $4 \ln (1 - 2 x) + 2 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 \ln (1 - 2 x)] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 \ln (1 - 2 x)] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4 x]}$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [4 \ln (1 - 2 x)]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 \ln (1 - 2 x)$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [\ln (1 - 2 x)]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 \frac{d}{d x} [\ln (1 - 2 x)] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4 x]}$

解题步骤 3.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 1 - 2 x$ 。

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解题步骤 3.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $1 - 2 x$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 - 2 x]) + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4 x]}$

解题步骤 3.3.2.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 - 2 x]) + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4 x]}$

解题步骤 3.3.2.3

使用 $1 - 2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 (\frac{1}{1 - 2 x} \frac{d}{d x} [1 - 2 x]) + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4 x]}$

解题步骤 3.3.3

根据加法法则， $1 - 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 (\frac{1}{1 - 2 x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x])) + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4 x]}$

解题步骤 3.3.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 (\frac{1}{1 - 2 x} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])) + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4 x]}$

解题步骤 3.3.5

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 (\frac{1}{1 - 2 x} (0 - 2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4 x]}$

解题步骤 3.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 (\frac{1}{1 - 2 x} (0 - 2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4 x]}$

解题步骤 3.3.7

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 (\frac{1}{1 - 2 x} (0 - 2)) + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4 x]}$

解题步骤 3.3.8

从 $0$ 中减去 $2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 (\frac{1}{1 - 2 x} \cdot - 2) + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4 x]}$

解题步骤 3.3.9

组合 $\frac{1}{1 - 2 x}$ 和 $- 2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 \frac{- 2}{1 - 2 x} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4 x]}$

解题步骤 3.3.10

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to 0} \frac{4 (- \frac{2}{1 - 2 x}) + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4 x]}$

解题步骤 3.3.11

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 \frac{2}{1 - 2 x} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4 x]}$

解题步骤 3.3.12

组合 $- 4$ 和 $\frac{2}{1 - 2 x}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{- 4 \cdot 2}{1 - 2 x} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4 x]}$

解题步骤 3.3.13

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{- 8}{1 - 2 x} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4 x]}$

解题步骤 3.3.14

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{8}{1 - 2 x} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4 x]}$

解题步骤 3.4

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ 。

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解题步骤 3.4.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{8}{1 - 2 x} + 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4 x]}$

解题步骤 3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{8}{1 - 2 x} + 2 (3 x^{2})}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4 x]}$

解题步骤 3.4.3

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{8}{1 - 2 x} + 6 x^{2}}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4 x]}$

解题步骤 3.5

化简。

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解题步骤 3.5.1

合并项。

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解题步骤 3.5.1.1

要将 $6 x^{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{1 - 2 x}{1 - 2 x}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{8}{1 - 2 x} + \frac{6 x^{2} (1 - 2 x)}{1 - 2 x}}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4 x]}$

解题步骤 3.5.1.2

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{- 8 + 6 x^{2} (1 - 2 x)}{1 - 2 x}}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4 x]}$

解题步骤 3.5.2

重新排序项。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6 x^{2} (1 - 2 x) - 8}{- 2 x + 1}}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4 x]}$

解题步骤 3.6

根据加法法则， $5 x^{2} + 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6 x^{2} (1 - 2 x) - 8}{- 2 x + 1}}{\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]}$

解题步骤 3.7

计算 $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ 。

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解题步骤 3.7.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6 x^{2} (1 - 2 x) - 8}{- 2 x + 1}}{5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]}$

解题步骤 3.7.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6 x^{2} (1 - 2 x) - 8}{- 2 x + 1}}{5 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x]}$

解题步骤 3.7.3

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6 x^{2} (1 - 2 x) - 8}{- 2 x + 1}}{10 x + \frac{d}{d x} [4 x]}$

解题步骤 3.8

计算 $\frac{d}{d x} [4 x]$ 。

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解题步骤 3.8.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6 x^{2} (1 - 2 x) - 8}{- 2 x + 1}}{10 x + 4 \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.8.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6 x^{2} (1 - 2 x) - 8}{- 2 x + 1}}{10 x + 4 \cdot 1}$

解题步骤 3.8.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6 x^{2} (1 - 2 x) - 8}{- 2 x + 1}}{10 x + 4}$

解题步骤 4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to 0} \frac{6 x^{2} (1 - 2 x) - 8}{- 2 x + 1} \cdot \frac{1}{10 x + 4}$

解题步骤 5

化简项。

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解题步骤 5.1

将 $\frac{6 x^{2} (1 - 2 x) - 8}{- 2 x + 1}$ 乘以 $\frac{1}{10 x + 4}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{6 x^{2} (1 - 2 x) - 8}{(- 2 x + 1) (10 x + 4)}$

解题步骤 5.2

约去 $6 x^{2} (1 - 2 x) - 8$ 和 $10 x + 4$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1

从 $6 x^{2} (1 - 2 x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x^{2} (1 - 2 x)) - 8}{(- 2 x + 1) (10 x + 4)}$

解题步骤 5.2.2

从 $- 8$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x^{2} (1 - 2 x)) + 2 (- 4)}{(- 2 x + 1) (10 x + 4)}$

解题步骤 5.2.3

从 $2 (3 x^{2} (1 - 2 x)) + 2 (- 4)$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x^{2} (1 - 2 x) - 4)}{(- 2 x + 1) (10 x + 4)}$

解题步骤 5.2.4

约去公因数。

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解题步骤 5.2.4.1

从 $(- 2 x + 1) (10 x + 4)$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x^{2} (1 - 2 x) - 4)}{2 ((- 2 x + 1) (5 x + 2))}$

解题步骤 5.2.4.2

约去公因数。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x^{2} (1 - 2 x) - 4)}{2 ((- 2 x + 1) (5 x + 2))}$

解题步骤 5.2.4.3

重写表达式。

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} (1 - 2 x) - 4}{(- 2 x + 1) (5 x + 2)}$

解题步骤 6

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} 3 x^{2} (1 - 2 x) - 4}{lim_{x \to 0} (- 2 x + 1) (5 x + 2)}$

解题步骤 7

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} 3 x^{2} (1 - 2 x) - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} (- 2 x + 1) (5 x + 2)}$

解题步骤 8

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{3 lim_{x \to 0} x^{2} (1 - 2 x) - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} (- 2 x + 1) (5 x + 2)}$

解题步骤 9

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{3 lim_{x \to 0} x^{2} \cdot lim_{x \to 0} 1 - 2 x - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} (- 2 x + 1) (5 x + 2)}$

解题步骤 10

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 0} 1 - 2 x - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} (- 2 x + 1) (5 x + 2)}$

解题步骤 11

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 2 x) - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} (- 2 x + 1) (5 x + 2)}$

解题步骤 12

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (1 - lim_{x \to 0} 2 x) - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} (- 2 x + 1) (5 x + 2)}$

解题步骤 13

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (1 - 2 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} (- 2 x + 1) (5 x + 2)}$

解题步骤 14

计算 $4$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (1 - 2 lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} (- 2 x + 1) (5 x + 2)}$

解题步骤 15

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (1 - 2 lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} - 2 x + 1 \cdot lim_{x \to 0} 5 x + 2}$

解题步骤 16

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (1 - 2 lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 4}{(- lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 1) \cdot lim_{x \to 0} 5 x + 2}$

解题步骤 17

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (1 - 2 lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 4}{(- 2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1) \cdot lim_{x \to 0} 5 x + 2}$

解题步骤 18

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (1 - 2 lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 4}{(- 2 lim_{x \to 0} x + 1) \cdot lim_{x \to 0} 5 x + 2}$

解题步骤 19

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (1 - 2 lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 4}{(- 2 lim_{x \to 0} x + 1) \cdot (lim_{x \to 0} 5 x + lim_{x \to 0} 2)}$

解题步骤 20

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (1 - 2 lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 4}{(- 2 lim_{x \to 0} x + 1) \cdot (5 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 2)}$

解题步骤 21

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (1 - 2 lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 4}{(- 2 lim_{x \to 0} x + 1) \cdot (5 lim_{x \to 0} x + 2)}$

解题步骤 22

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 22.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{3 \cdot 0^{2} \cdot (1 - 2 lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 4}{(- 2 lim_{x \to 0} x + 1) \cdot (5 lim_{x \to 0} x + 2)}$

解题步骤 22.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{3 \cdot 0^{2} \cdot (1 - 2 \cdot 0) - 1 \cdot 4}{(- 2 lim_{x \to 0} x + 1) \cdot (5 lim_{x \to 0} x + 2)}$

解题步骤 22.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{3 \cdot 0^{2} \cdot (1 - 2 \cdot 0) - 1 \cdot 4}{(- 2 \cdot 0 + 1) \cdot (5 lim_{x \to 0} x + 2)}$

解题步骤 22.4

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{3 \cdot 0^{2} \cdot (1 - 2 \cdot 0) - 1 \cdot 4}{(- 2 \cdot 0 + 1) \cdot (5 \cdot 0 + 2)}$

解题步骤 23

化简答案。

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解题步骤 23.1

化简分子。

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解题步骤 23.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{3 \cdot 0 \cdot (1 - 2 \cdot 0) - 1 \cdot 4}{(- 2 \cdot 0 + 1) \cdot (5 \cdot 0 + 2)}$

解题步骤 23.1.2

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 \cdot (1 - 2 \cdot 0) - 1 \cdot 4}{(- 2 \cdot 0 + 1) \cdot (5 \cdot 0 + 2)}$

解题步骤 23.1.3

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 \cdot (1 + 0) - 1 \cdot 4}{(- 2 \cdot 0 + 1) \cdot (5 \cdot 0 + 2)}$

解题步骤 23.1.4

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0 \cdot 1 - 1 \cdot 4}{(- 2 \cdot 0 + 1) \cdot (5 \cdot 0 + 2)}$

解题步骤 23.1.5

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0 - 1 \cdot 4}{(- 2 \cdot 0 + 1) \cdot (5 \cdot 0 + 2)}$

解题步骤 23.1.6

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{0 - 4}{(- 2 \cdot 0 + 1) \cdot (5 \cdot 0 + 2)}$

解题步骤 23.1.7

从 $0$ 中减去 $4$ 。

$\frac{- 4}{(- 2 \cdot 0 + 1) \cdot (5 \cdot 0 + 2)}$

解题步骤 23.2

化简分母。

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解题步骤 23.2.1

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{- 4}{(0 + 1) (5 \cdot 0 + 2)}$

解题步骤 23.2.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- 4}{1 (5 \cdot 0 + 2)}$

解题步骤 23.2.3

将 $5 \cdot 0 + 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 4}{5 \cdot 0 + 2}$

解题步骤 23.2.4

将 $5$ 乘以 $0$ 。

$\frac{- 4}{0 + 2}$

解题步骤 23.2.5

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$\frac{- 4}{2}$

解题步骤 23.3

用 $- 4$ 除以 $2$ 。

$- 2$

微积分学 示例

微积分学示例