微积分学示例

$f (x) = \frac{10}{3} x^{3} - x^{2} - 8 x + 48$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $\frac{10}{3} x^{3} - x^{2} - 8 x + 48$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{10}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{10}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{10}{3} x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $\frac{10}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{10}{3} x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{10}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$\frac{10}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{10}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

解题步骤 1.2.3

组合 $3$ 和 $\frac{10}{3}$ 。

$\frac{3 \cdot 10}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

解题步骤 1.2.4

将 $3$ 乘以 $10$ 。

$\frac{30}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

解题步骤 1.2.5

组合 $\frac{30}{3}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{30 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

解题步骤 1.2.6

约去 $30$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.6.1

从 $30 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (10 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

解题步骤 1.2.6.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.6.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (10 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

解题步骤 1.2.6.2.2

约去公因数。

$\frac{3 (10 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

解题步骤 1.2.6.2.3

重写表达式。

$\frac{10 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

解题步骤 1.2.6.2.4

用 $10 x^{2}$ 除以 $1$ 。

$10 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$10 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$10 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

解题步骤 1.3.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$10 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

解题步骤 1.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ 。

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解题步骤 1.4.1

因为 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 8 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$10 x^{2} - 2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [48]$

解题步骤 1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$10 x^{2} - 2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [48]$

解题步骤 1.4.3

将 $- 8$ 乘以 $1$ 。

$10 x^{2} - 2 x - 8 + \frac{d}{d x} [48]$

解题步骤 1.5

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.5.1

因为 $48$ 对于 $x$ 是常数，所以 $48$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$10 x^{2} - 2 x - 8 + 0$

解题步骤 1.5.2

将 $10 x^{2} - 2 x - 8$ 和 $0$ 相加。

$10 x^{2} - 2 x - 8$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $10 x^{2} - 2 x - 8$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (10 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [10 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $10 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $10 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = 10 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 10 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

解题步骤 2.2.3

将 $2$ 乘以 $10$ 。

$f'' (x) = 20 x + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 20 x - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 8)$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 20 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 8)$

解题步骤 2.3.3

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 20 x - 2 + \frac{d}{d x} (- 8)$

解题步骤 2.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.4.1

因为 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 8$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 20 x - 2 + 0$

解题步骤 2.4.2

将 $20 x - 2$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 20 x - 2$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$10 x^{2} - 2 x - 8 = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

根据加法法则， $\frac{10}{3} x^{3} - x^{2} - 8 x + 48$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{10}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{10}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

解题步骤 4.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{10}{3} x^{3}]$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

因为 $\frac{10}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{10}{3} x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{10}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$\frac{10}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{10}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

解题步骤 4.1.2.3

组合 $3$ 和 $\frac{10}{3}$ 。

$\frac{3 \cdot 10}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

解题步骤 4.1.2.4

将 $3$ 乘以 $10$ 。

$\frac{30}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

解题步骤 4.1.2.5

组合 $\frac{30}{3}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{30 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

解题步骤 4.1.2.6

约去 $30$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.2.6.1

从 $30 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (10 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

解题步骤 4.1.2.6.2

约去公因数。

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解题步骤 4.1.2.6.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (10 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

解题步骤 4.1.2.6.2.2

约去公因数。

$\frac{3 (10 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

解题步骤 4.1.2.6.2.3

重写表达式。

$\frac{10 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

解题步骤 4.1.2.6.2.4

用 $10 x^{2}$ 除以 $1$ 。

$10 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

解题步骤 4.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$10 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

解题步骤 4.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$10 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

解题步骤 4.1.3.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$10 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

解题步骤 4.1.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ 。

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解题步骤 4.1.4.1

因为 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 8 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$10 x^{2} - 2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [48]$

解题步骤 4.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$10 x^{2} - 2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [48]$

解题步骤 4.1.4.3

将 $- 8$ 乘以 $1$ 。

$10 x^{2} - 2 x - 8 + \frac{d}{d x} [48]$

解题步骤 4.1.5

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.1.5.1

因为 $48$ 对于 $x$ 是常数，所以 $48$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$10 x^{2} - 2 x - 8 + 0$

解题步骤 4.1.5.2

将 $10 x^{2} - 2 x - 8$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 10 x^{2} - 2 x - 8$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $10 x^{2} - 2 x - 8$ 。

$10 x^{2} - 2 x - 8$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $10 x^{2} - 2 x - 8 = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$10 x^{2} - 2 x - 8 = 0$

解题步骤 5.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 5.2.1

从 $10 x^{2} - 2 x - 8$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 5.2.1.1

从 $10 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (5 x^{2}) - 2 x - 8 = 0$

解题步骤 5.2.1.2

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (5 x^{2}) + 2 (- x) - 8 = 0$

解题步骤 5.2.1.3

从 $- 8$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (5 x^{2}) + 2 (- x) + 2 (- 4) = 0$

解题步骤 5.2.1.4

从 $2 (5 x^{2}) + 2 (- x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (5 x^{2} - x) + 2 (- 4) = 0$

解题步骤 5.2.1.5

从 $2 (5 x^{2} - x) + 2 (- 4)$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (5 x^{2} - x - 4) = 0$

解题步骤 5.2.2

因数。

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解题步骤 5.2.2.1

分组因式分解。

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解题步骤 5.2.2.1.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 5 \cdot - 4 = - 20$ 并且它们的和为 $b = - 1$ 。

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解题步骤 5.2.2.1.1.1

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$2 (5 x^{2} - (x) - 4) = 0$

解题步骤 5.2.2.1.1.2

把 $- 1$ 重写为 $4$ 加 $- 5$

$2 (5 x^{2} + (4 - 5) x - 4) = 0$

解题步骤 5.2.2.1.1.3

运用分配律。

$2 (5 x^{2} + 4 x - 5 x - 4) = 0$

解题步骤 5.2.2.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 5.2.2.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$2 ((5 x^{2} + 4 x) - 5 x - 4) = 0$

解题步骤 5.2.2.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$2 (x (5 x + 4) - (5 x + 4)) = 0$

解题步骤 5.2.2.1.3

通过因式分解出最大公因数 $5 x + 4$ 来因式分解多项式。

$2 ((5 x + 4) (x - 1)) = 0$

解题步骤 5.2.2.2

去掉多余的括号。

$2 (5 x + 4) (x - 1) = 0$

解题步骤 5.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$5 x + 4 = 0$

$x - 1 = 0$

解题步骤 5.4

将 $5 x + 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.4.1

将 $5 x + 4$ 设为等于 $0$ 。

$5 x + 4 = 0$

解题步骤 5.4.2

求解 $x$ 的 $5 x + 4 = 0$ 。

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解题步骤 5.4.2.1

从等式两边同时减去 $4$ 。

$5 x = - 4$

解题步骤 5.4.2.2

将 $5 x = - 4$ 中的每一项除以 $5$ 并化简。

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解题步骤 5.4.2.2.1

将 $5 x = - 4$ 中的每一项都除以 $5$ 。

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 4}{5}$

解题步骤 5.4.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.4.2.2.2.1

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 4}{5}$

解题步骤 5.4.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 4}{5}$

解题步骤 5.4.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.4.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{4}{5}$

解题步骤 5.5

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.5.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 5.5.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 5.6

最终解为使 $2 (5 x + 4) (x - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = - \frac{4}{5}, 1$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = - \frac{4}{5}, 1$

解题步骤 8

计算在 $x = - \frac{4}{5}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$20 (- \frac{4}{5}) - 2$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.1

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.1.1

将 $- \frac{4}{5}$ 中前置负号移到分子中。

$20 (\frac{- 4}{5}) - 2$

解题步骤 9.1.1.2

从 $20$ 中分解出因数 $5$ 。

$5 (4) \frac{- 4}{5} - 2$

解题步骤 9.1.1.3

约去公因数。

$5 \cdot 4 \frac{- 4}{5} - 2$

解题步骤 9.1.1.4

重写表达式。

$4 \cdot - 4 - 2$

解题步骤 9.1.2

将 $4$ 乘以 $- 4$ 。

$- 16 - 2$

解题步骤 9.2

从 $- 16$ 中减去 $2$ 。

$- 18$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = - \frac{4}{5}$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = - \frac{4}{5}$ 是一个极大值

解题步骤 11

求 $x = - \frac{4}{5}$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $- \frac{4}{5}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{10}{3} \cdot {(- \frac{4}{5})}^{3} - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 11.2.1.1.1

对 $- \frac{4}{5}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{10}{3} \cdot ({(- 1)}^{3} {(\frac{4}{5})}^{3}) - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

解题步骤 11.2.1.1.2

对 $\frac{4}{5}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{10}{3} \cdot ({(- 1)}^{3} (\frac{4^{3}}{5^{3}})) - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

解题步骤 11.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{10}{3} \cdot (- \frac{4^{3}}{5^{3}}) - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

解题步骤 11.2.1.3

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{10}{3} \cdot (- \frac{64}{5^{3}}) - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

解题步骤 11.2.1.4

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{10}{3} \cdot (- \frac{64}{125}) - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

解题步骤 11.2.1.5

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.1.5.1

将 $- \frac{64}{125}$ 中前置负号移到分子中。

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{10}{3} \cdot \frac{- 64}{125} - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

解题步骤 11.2.1.5.2

从 $10$ 中分解出因数 $5$ 。

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{5 (2)}{3} \cdot \frac{- 64}{125} - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

解题步骤 11.2.1.5.3

从 $125$ 中分解出因数 $5$ 。

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{5 \cdot 2}{3} \cdot \frac{- 64}{5 \cdot 25} - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

解题步骤 11.2.1.5.4

约去公因数。

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{5 \cdot 2}{3} \cdot \frac{- 64}{5 \cdot 25} - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

解题步骤 11.2.1.5.5

重写表达式。

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{2}{3} \cdot \frac{- 64}{25} - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

解题步骤 11.2.1.6

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $\frac{- 64}{25}$ 。

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{2 \cdot - 64}{3 \cdot 25} - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

解题步骤 11.2.1.7

将 $2$ 乘以 $- 64$ 。

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{- 128}{3 \cdot 25} - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

解题步骤 11.2.1.8

将 $3$ 乘以 $25$ 。

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{- 128}{75} - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

解题步骤 11.2.1.9

将负号移到分数的前面。

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

解题步骤 11.2.1.10

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 11.2.1.10.1

对 $- \frac{4}{5}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - ({(- 1)}^{2} {(\frac{4}{5})}^{2}) - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

解题步骤 11.2.1.10.2

对 $\frac{4}{5}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - ({(- 1)}^{2} (\frac{4^{2}}{5^{2}})) - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

解题步骤 11.2.1.11

通过指数相加将 $- 1$ 乘以 ${(- 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 11.2.1.11.1

移动 ${(- 1)}^{2}$ 。

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 \frac{4^{2}}{5^{2}}) - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

解题步骤 11.2.1.11.2

将 ${(- 1)}^{2}$ 乘以 $- 1$ 。

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解题步骤 11.2.1.11.2.1

对 $- 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} + {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) (\frac{4^{2}}{5^{2}})) - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

解题步骤 11.2.1.11.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} + {(- 1)}^{2 + 1} (\frac{4^{2}}{5^{2}}) - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

解题步骤 11.2.1.11.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} + {(- 1)}^{3} (\frac{4^{2}}{5^{2}}) - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

解题步骤 11.2.1.12

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{4^{2}}{5^{2}} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

解题步骤 11.2.1.13

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{16}{5^{2}} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

解题步骤 11.2.1.14

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{16}{25} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

解题步骤 11.2.1.15

乘以 $- 8 (- \frac{4}{5})$ 。

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解题步骤 11.2.1.15.1

将 $- 1$ 乘以 $- 8$ 。

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{16}{25} + 8 (\frac{4}{5}) + 48$

解题步骤 11.2.1.15.2

组合 $8$ 和 $\frac{4}{5}$ 。

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{16}{25} + \frac{8 \cdot 4}{5} + 48$

解题步骤 11.2.1.15.3

将 $8$ 乘以 $4$ 。

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{16}{25} + \frac{32}{5} + 48$

解题步骤 11.2.2

求公分母。

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解题步骤 11.2.2.1

将 $\frac{16}{25}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - (\frac{16}{25} \cdot \frac{3}{3}) + \frac{32}{5} + 48$

解题步骤 11.2.2.2

将 $\frac{16}{25}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{16 \cdot 3}{25 \cdot 3} + \frac{32}{5} + 48$

解题步骤 11.2.2.3

将 $\frac{32}{5}$ 乘以 $\frac{15}{15}$ 。

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{16 \cdot 3}{25 \cdot 3} + \frac{32}{5} \cdot \frac{15}{15} + 48$

解题步骤 11.2.2.4

将 $\frac{32}{5}$ 乘以 $\frac{15}{15}$ 。

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{16 \cdot 3}{25 \cdot 3} + \frac{32 \cdot 15}{5 \cdot 15} + 48$

解题步骤 11.2.2.5

将 $48$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{16 \cdot 3}{25 \cdot 3} + \frac{32 \cdot 15}{5 \cdot 15} + \frac{48}{1}$

解题步骤 11.2.2.6

将 $\frac{48}{1}$ 乘以 $\frac{75}{75}$ 。

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{16 \cdot 3}{25 \cdot 3} + \frac{32 \cdot 15}{5 \cdot 15} + \frac{48}{1} \cdot \frac{75}{75}$

解题步骤 11.2.2.7

将 $\frac{48}{1}$ 乘以 $\frac{75}{75}$ 。

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{16 \cdot 3}{25 \cdot 3} + \frac{32 \cdot 15}{5 \cdot 15} + \frac{48 \cdot 75}{75}$

解题步骤 11.2.2.8

重新排序 $25 \cdot 3$ 的因式。

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{16 \cdot 3}{3 \cdot 25} + \frac{32 \cdot 15}{5 \cdot 15} + \frac{48 \cdot 75}{75}$

解题步骤 11.2.2.9

将 $3$ 乘以 $25$ 。

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{16 \cdot 3}{75} + \frac{32 \cdot 15}{5 \cdot 15} + \frac{48 \cdot 75}{75}$

解题步骤 11.2.2.10

将 $5$ 乘以 $15$ 。

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{16 \cdot 3}{75} + \frac{32 \cdot 15}{75} + \frac{48 \cdot 75}{75}$

解题步骤 11.2.3

在公分母上合并分子。

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{- 128 - 16 \cdot 3 + 32 \cdot 15 + 48 \cdot 75}{75}$

解题步骤 11.2.4

化简每一项。

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解题步骤 11.2.4.1

将 $- 16$ 乘以 $3$ 。

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{- 128 - 48 + 32 \cdot 15 + 48 \cdot 75}{75}$

解题步骤 11.2.4.2

将 $32$ 乘以 $15$ 。

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{- 128 - 48 + 480 + 48 \cdot 75}{75}$

解题步骤 11.2.4.3

将 $48$ 乘以 $75$ 。

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{- 128 - 48 + 480 + 3600}{75}$

解题步骤 11.2.5

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 11.2.5.1

从 $- 128$ 中减去 $48$ 。

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{- 176 + 480 + 3600}{75}$

解题步骤 11.2.5.2

将 $- 176$ 和 $480$ 相加。

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{304 + 3600}{75}$

解题步骤 11.2.5.3

将 $304$ 和 $3600$ 相加。

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{3904}{75}$

解题步骤 11.2.6

最终答案为 $\frac{3904}{75}$ 。

$y = \frac{3904}{75}$

解题步骤 12

计算在 $x = 1$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$20 (1) - 2$

解题步骤 13

计算二阶导数。

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解题步骤 13.1

将 $20$ 乘以 $1$ 。

$20 - 2$

解题步骤 13.2

从 $20$ 中减去 $2$ 。

$18$

解题步骤 14

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = 1$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 1$ 是一个极小值

解题步骤 15

求 $x = 1$ 时的 y 值。

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解题步骤 15.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = \frac{10}{3} \cdot {(1)}^{3} - {(1)}^{2} - 8 \cdot 1 + 48$

解题步骤 15.2

化简结果。

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解题步骤 15.2.1

化简每一项。

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解题步骤 15.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$f (1) = \frac{10}{3} \cdot 1 - {(1)}^{2} - 8 \cdot 1 + 48$

解题步骤 15.2.1.2

将 $\frac{10}{3}$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = \frac{10}{3} - {(1)}^{2} - 8 \cdot 1 + 48$

解题步骤 15.2.1.3

一的任意次幂都为一。

$f (1) = \frac{10}{3} - 1 \cdot 1 - 8 \cdot 1 + 48$

解题步骤 15.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = \frac{10}{3} - 1 - 8 \cdot 1 + 48$

解题步骤 15.2.1.5

将 $- 8$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = \frac{10}{3} - 1 - 8 + 48$

解题步骤 15.2.2

求公分母。

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解题步骤 15.2.2.1

将 $- 1$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f (1) = \frac{10}{3} + \frac{- 1}{1} - 8 + 48$

解题步骤 15.2.2.2

将 $\frac{- 1}{1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (1) = \frac{10}{3} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{3}{3} - 8 + 48$

解题步骤 15.2.2.3

将 $\frac{- 1}{1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (1) = \frac{10}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} - 8 + 48$

解题步骤 15.2.2.4

将 $- 8$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f (1) = \frac{10}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{- 8}{1} + 48$

解题步骤 15.2.2.5

将 $\frac{- 8}{1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (1) = \frac{10}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{- 8}{1} \cdot \frac{3}{3} + 48$

解题步骤 15.2.2.6

将 $\frac{- 8}{1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (1) = \frac{10}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + 48$

解题步骤 15.2.2.7

将 $48$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f (1) = \frac{10}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{48}{1}$

解题步骤 15.2.2.8

将 $\frac{48}{1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (1) = \frac{10}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{48}{1} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 15.2.2.9

将 $\frac{48}{1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (1) = \frac{10}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{48 \cdot 3}{3}$

解题步骤 15.2.3

在公分母上合并分子。

$f (1) = \frac{10 - 1 \cdot 3 - 8 \cdot 3 + 48 \cdot 3}{3}$

解题步骤 15.2.4

化简每一项。

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解题步骤 15.2.4.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f (1) = \frac{10 - 3 - 8 \cdot 3 + 48 \cdot 3}{3}$

解题步骤 15.2.4.2

将 $- 8$ 乘以 $3$ 。

$f (1) = \frac{10 - 3 - 24 + 48 \cdot 3}{3}$

解题步骤 15.2.4.3

将 $48$ 乘以 $3$ 。

$f (1) = \frac{10 - 3 - 24 + 144}{3}$

解题步骤 15.2.5

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 15.2.5.1

从 $10$ 中减去 $3$ 。

$f (1) = \frac{7 - 24 + 144}{3}$

解题步骤 15.2.5.2

从 $7$ 中减去 $24$ 。

$f (1) = \frac{- 17 + 144}{3}$

解题步骤 15.2.5.3

将 $- 17$ 和 $144$ 相加。

$f (1) = \frac{127}{3}$

解题步骤 15.2.6

最终答案为 $\frac{127}{3}$ 。

$y = \frac{127}{3}$

解题步骤 16

这些是 $f (x) = \frac{10}{3} x^{3} - x^{2} - 8 x + 48$ 的局部极值。

$(- \frac{4}{5}, \frac{3904}{75})$ 是一个局部最大值

$(1, \frac{127}{3})$ 是一个局部最小值

解题步骤 17

微积分学 示例

微积分学示例