微积分学示例

$\int x^{2} \arcsin (x) d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \arcsin (x)$ ， $d v = x^{2}$ 。

$\arcsin (x) (\frac{1}{3} x^{3}) - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$\arcsin (x) \frac{x^{3}}{3} - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

解题步骤 2.2

组合 $\arcsin (x)$ 和 $\frac{x^{3}}{3}$ 。

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int x^{3} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x)$

解题步骤 4

组合 $x^{3}$ 和 $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ 。

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

解题步骤 5

使 $x = \sin (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d x = \cos (t) d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $\cos (t)$ 为正数。

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{\sin^{3} (t)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

解题步骤 6

化简项。

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解题步骤 6.1

化简 $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ 。

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解题步骤 6.1.1

使用勾股恒等式。

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{\sin^{3} (t)}{\sqrt{\cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

解题步骤 6.1.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{\sin^{3} (t)}{\cos (t)} \cos (t) d t$

解题步骤 6.2

约去 $\cos (t)$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1

约去公因数。

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{\sin^{3} (t)}{\cos (t)} \cos (t) d t$

解题步骤 6.2.2

重写表达式。

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \int \sin^{3} (t) d t$

解题步骤 7

因式分解出 $\sin^{2} (t)$ 。

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \int \sin^{2} (t) \sin (t) d t$

解题步骤 8

使用勾股定理，将 $\sin^{2} (t)$ 重写成 $1 - \cos^{2} (t)$ 的形式。

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \int (1 - \cos^{2} (t)) \sin (t) d t$

解题步骤 9

使 $u = \cos (t)$ 。然后使 $d u = - \sin (t) d t$ ，以便 $- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 9.1

设 $u = \cos (t)$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 9.1.1

对 $\cos (t)$ 求导。

$\frac{d}{d t} [\cos (t)]$

解题步骤 9.1.2

$\cos (t)$ 对 $t$ 的导数为 $- \sin (t)$ 。

$- \sin (t)$

解题步骤 9.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \int - 1 + u^{2} d u$

解题步骤 10

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\int - 1 d u + \int u^{2} d u)$

解题步骤 11

应用常数不变法则。

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (- u + C + \int u^{2} d u)$

解题步骤 12

根据幂法则， $u^{2}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{3} u^{3}$ 。

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (- u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

化简。

$\frac{1}{3} \arcsin (x) x^{3} - \frac{1}{3} (- u + \frac{1}{3} u^{3}) + C$

解题步骤 13.2

化简。

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解题步骤 13.2.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $\arcsin (x)$ 。

$\frac{\arcsin (x)}{3} x^{3} - \frac{1}{3} (- u + \frac{1}{3} u^{3}) + C$

解题步骤 13.2.2

组合 $\frac{\arcsin (x)}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (- u + \frac{1}{3} u^{3}) + C$

解题步骤 13.2.3

要将 $- \frac{1}{3} (- u + \frac{1}{3} u^{3})$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (- u + \frac{1}{3} u^{3}) \cdot \frac{3}{3} + C$

解题步骤 13.2.4

组合 $- \frac{1}{3} (- u + \frac{1}{3} u^{3})$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} + \frac{- \frac{1}{3} (- u + \frac{1}{3} u^{3}) \cdot 3}{3} + C$

解题步骤 13.2.5

在公分母上合并分子。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} - \frac{1}{3} (- u + \frac{1}{3} u^{3}) \cdot 3}{3} + C$

解题步骤 13.2.6

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $u^{3}$ 。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} - \frac{1}{3} (- u + \frac{u^{3}}{3}) \cdot 3}{3} + C$

解题步骤 13.2.7

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} - 3 (\frac{1}{3}) (- u + \frac{u^{3}}{3})}{3} + C$

解题步骤 13.2.8

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{- 3}{3} (- u + \frac{u^{3}}{3})}{3} + C$

解题步骤 13.2.9

约去 $- 3$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 13.2.9.1

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3} (- u + \frac{u^{3}}{3})}{3} + C$

解题步骤 13.2.9.2

约去公因数。

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解题步骤 13.2.9.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)} (- u + \frac{u^{3}}{3})}{3} + C$

解题步骤 13.2.9.2.2

约去公因数。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1} (- u + \frac{u^{3}}{3})}{3} + C$

解题步骤 13.2.9.2.3

重写表达式。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{- 1}{1} (- u + \frac{u^{3}}{3})}{3} + C$

解题步骤 13.2.9.2.4

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} - (- u + \frac{u^{3}}{3})}{3} + C$

解题步骤 14

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 14.1

使用 $\cos (t)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} - (- \cos (t) + \frac{\cos^{3} (t)}{3})}{3} + C$

解题步骤 14.2

使用 $\arcsin (x)$ 替换所有出现的 $t$ 。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} - (- \cos (\arcsin (x)) + \frac{\cos^{3} (\arcsin (x))}{3})}{3} + C$

解题步骤 15

化简。

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解题步骤 15.1

化简每一项。

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解题步骤 15.1.1

在平面中画出顶点为 $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ 、 $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, 0)$ 和原点的三角形。则 $\arcsin (x)$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\cos (\arcsin (x))$ 为 $\sqrt{1 - x^{2}}$ 。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} - (- \sqrt{1 - x^{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (x))}{3})}{3} + C$

解题步骤 15.1.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} - (- \sqrt{1^{2} - x^{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (x))}{3})}{3} + C$

解题步骤 15.1.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = x$ 。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} - (- \sqrt{(1 + x) (1 - x)} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (x))}{3})}{3} + C$

解题步骤 15.2

运用分配律。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} - - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\cos^{3} (\arcsin (x))}{3}}{3} + C$

解题步骤 15.3

乘以 $- - \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 。

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解题步骤 15.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + 1 \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\cos^{3} (\arcsin (x))}{3}}{3} + C$

解题步骤 15.3.2

将 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\cos^{3} (\arcsin (x))}{3}}{3} + C$

解题步骤 15.4

化简分子。

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解题步骤 15.4.1

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{{\sqrt{1 - x^{2}}}^{3}}{3}}{3} + C$

解题步骤 15.4.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{{\sqrt{1^{2} - x^{2}}}^{3}}{3}}{3} + C$

解题步骤 15.4.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = x$ 。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{3}}{3}}{3} + C$

解题步骤 15.4.4

将 ${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{{((1 + x) (1 - x))}^{3}}$ 。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\sqrt{{((1 + x) (1 - x))}^{3}}}{3}}{3} + C$

解题步骤 15.4.5

对 $(1 + x) (1 - x)$ 运用乘积法则。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\sqrt{{(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{3}}}{3}}{3} + C$

解题步骤 15.4.6

将 ${(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{3}$ 重写为 ${((1 + x) (1 - x))}^{2} ((1 + x) (1 - x))$ 。

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解题步骤 15.4.6.1

因式分解出 ${(1 + x)}^{2}$ 。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\sqrt{{(1 + x)}^{2} (1 + x) {(1 - x)}^{3}}}{3}}{3} + C$

解题步骤 15.4.6.2

因式分解出 ${(1 - x)}^{2}$ 。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\sqrt{{(1 + x)}^{2} (1 + x) ({(1 - x)}^{2} (1 - x))}}{3}}{3} + C$

解题步骤 15.4.6.3

移动 $1 + x$ 。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\sqrt{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} (1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

解题步骤 15.4.6.4

将 ${(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}$ 重写为 ${((1 + x) (1 - x))}^{2}$ 。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\sqrt{{((1 + x) (1 - x))}^{2} (1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

解题步骤 15.4.6.5

添加圆括号。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\sqrt{{((1 + x) (1 - x))}^{2} ((1 + x) (1 - x))}}{3}}{3} + C$

解题步骤 15.4.7

从根式下提出各项。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{(1 + x) (1 - x) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

解题步骤 15.4.8

使用 FOIL 方法展开 $(1 + x) (1 - x)$ 。

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解题步骤 15.4.8.1

运用分配律。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{(1 (1 - x) + x (1 - x)) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

解题步骤 15.4.8.2

运用分配律。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{(1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x)) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

解题步骤 15.4.8.3

运用分配律。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{(1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

解题步骤 15.4.9

化简并合并同类项。

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解题步骤 15.4.9.1

化简每一项。

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解题步骤 15.4.9.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{(1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

解题步骤 15.4.9.1.2

将 $- x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{(1 - x + x \cdot 1 + x (- x)) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

解题步骤 15.4.9.1.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{(1 - x + x + x (- x)) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

解题步骤 15.4.9.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{(1 - x + x - x \cdot x) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

解题步骤 15.4.9.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 15.4.9.1.5.1

移动 $x$ 。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{(1 - x + x - (x \cdot x)) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

解题步骤 15.4.9.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{(1 - x + x - x^{2}) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

解题步骤 15.4.9.2

将 $- x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{(1 + 0 - x^{2}) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

解题步骤 15.4.9.3

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{(1 - x^{2}) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

解题步骤 15.4.10

运用分配律。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{1 \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

解题步骤 15.4.11

将 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} - x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

解题步骤 15.4.12

从 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)} - x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 中分解出因数 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 。

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解题步骤 15.4.12.1

乘以 $1$ 。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \cdot 1 - x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

解题步骤 15.4.12.2

从 $- x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 中分解出因数 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \cdot 1 + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} (- x^{2})}{3}}{3} + C$

解题步骤 15.4.12.3

从 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \cdot 1 + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} (- x^{2})$ 中分解出因数 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (1 - x^{2})}{3}}{3} + C$

解题步骤 15.4.13

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (1^{2} - x^{2})}{3}}{3} + C$

解题步骤 15.4.14

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = x$ 。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (1 + x) (1 - x)}{3}}{3} + C$

解题步骤 15.5

要将 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \cdot \frac{3}{3} - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (1 + x) (1 - x)}{3}}{3} + C$

解题步骤 15.6

组合 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \cdot 3}{3} - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (1 + x) (1 - x)}{3}}{3} + C$

解题步骤 15.7

在公分母上合并分子。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \cdot 3 - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} (1 + x) (1 - x)}{3}}{3} + C$

解题步骤 15.8

化简分子。

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解题步骤 15.8.1

从 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \cdot 3 - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} (1 + x) (1 - x)$ 中分解出因数 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 。

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解题步骤 15.8.1.1

从 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \cdot 3$ 中分解出因数 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3) - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} (1 + x) (1 - x)}{3}}{3} + C$

解题步骤 15.8.1.2

从 $- \sqrt{(1 + x) (1 - x)} (1 + x) (1 - x)$ 中分解出因数 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3) + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} ((- 1 (1 + x)) (1 - x))}{3}}{3} + C$

解题步骤 15.8.1.3

从 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3) + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} ((- 1 (1 + x)) (1 - x))$ 中分解出因数 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 + (- 1 (1 + x)) (1 - x))}{3}}{3} + C$

解题步骤 15.8.2

运用分配律。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 + (- 1 \cdot 1 - 1 x) (1 - x))}{3}}{3} + C$

解题步骤 15.8.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 + (- 1 - 1 x) (1 - x))}{3}}{3} + C$

解题步骤 15.8.4

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 + (- 1 - x) (1 - x))}{3}}{3} + C$

解题步骤 15.8.5

使用 FOIL 方法展开 $(- 1 - x) (1 - x)$ 。

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解题步骤 15.8.5.1

运用分配律。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 - 1 (1 - x) - x (1 - x))}{3}}{3} + C$

解题步骤 15.8.5.2

运用分配律。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 - 1 \cdot 1 - 1 (- x) - x (1 - x))}{3}}{3} + C$

解题步骤 15.8.5.3

运用分配律。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 - 1 \cdot 1 - 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x))}{3}}{3} + C$

解题步骤 15.8.6

化简并合并同类项。

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解题步骤 15.8.6.1

化简每一项。

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解题步骤 15.8.6.1.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 - 1 - 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x))}{3}}{3} + C$

解题步骤 15.8.6.1.2

乘以 $- 1 (- x)$ 。

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解题步骤 15.8.6.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 - 1 + 1 x - x \cdot 1 - x (- x))}{3}}{3} + C$

解题步骤 15.8.6.1.2.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 - 1 + x - x \cdot 1 - x (- x))}{3}}{3} + C$

解题步骤 15.8.6.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 - 1 + x - x - x (- x))}{3}}{3} + C$

解题步骤 15.8.6.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 - 1 + x - x - 1 \cdot - 1 x \cdot x)}{3}}{3} + C$

解题步骤 15.8.6.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 15.8.6.1.5.1

移动 $x$ 。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 - 1 + x - x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x))}{3}}{3} + C$

解题步骤 15.8.6.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 - 1 + x - x - 1 \cdot - 1 x^{2})}{3}}{3} + C$

解题步骤 15.8.6.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 - 1 + x - x + 1 x^{2})}{3}}{3} + C$

解题步骤 15.8.6.1.7

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 - 1 + x - x + x^{2})}{3}}{3} + C$

解题步骤 15.8.6.2

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 - 1 + 0 + x^{2})}{3}}{3} + C$

解题步骤 15.8.6.3

将 $- 1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 - 1 + x^{2})}{3}}{3} + C$

解题步骤 15.8.7

从 $3$ 中减去 $1$ 。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (2 + x^{2})}{3}}{3} + C$

解题步骤 16

重新排序项。

$\frac{1}{3} (\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (2 + x^{2})}{3}) + C$

微积分学 示例

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