微积分学示例

$\ln (x) x - x$

解题步骤 1

根据加法法则， $\ln (x) x - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\ln (x) x] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$\frac{d}{d x} [\ln (x) x] + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [\ln (x) x]$ 。

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解题步骤 2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x$ 。

$\ln (x) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\ln (x) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 2.3

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\ln (x) \cdot 1 + x \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 2.4

将 $\ln (x)$ 乘以 $1$ 。

$\ln (x) + x \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 2.5

组合 $x$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\ln (x) + \frac{x}{x} + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 2.6

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.1

约去公因数。

$\ln (x) + \frac{x}{x} + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 2.6.2

重写表达式。

$\ln (x) + 1 + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [- x]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\ln (x) + 1 - \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\ln (x) + 1 - 1 \cdot 1$

解题步骤 3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\ln (x) + 1 - 1$

解题步骤 4

合并项。

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解题步骤 4.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\ln (x) + 0$

解题步骤 4.2

将 $\ln (x)$ 和 $0$ 相加。

$\ln (x)$

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