微积分学示例

$\sqrt{\frac{1}{x}}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{\frac{1}{x}}$ 重写成 ${(\frac{1}{x})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(\frac{1}{x})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = \frac{1}{x}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 2.3

使用 $\frac{1}{x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{1}{x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{1}{x})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{1}{x})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} {(\frac{1}{x})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{1}{x})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{1}{x})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 7

化简表达式。

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解题步骤 7.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} {(\frac{1}{x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 7.2

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{1}{x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

解题步骤 8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{1}{x})}^{- \frac{1}{2}} (- x^{- 2})$

解题步骤 9

合并分数。

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解题步骤 9.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- 2}$ 。

${(\frac{1}{x})}^{- \frac{1}{2}} (- \frac{x^{- 2}}{2})$

解题步骤 9.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 2}$ 移动到分母。

${(\frac{1}{x})}^{- \frac{1}{2}} (- \frac{1}{2 x^{2}})$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

通过将底数重写为其倒数的方式改变指数的符号。

$x^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2 x^{2}})$

解题步骤 10.2

合并项。

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解题步骤 10.2.1

组合 $x^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{1}{2 x^{2}}$ 。

$- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{2}}$

解题步骤 10.2.2

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 $x^{\frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$- \frac{1}{2 x^{2} x^{- \frac{1}{2}}}$

解题步骤 10.2.3

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 10.2.3.1

移动 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{1}{2 (x^{- \frac{1}{2}} x^{2})}$

解题步骤 10.2.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{1}{2 x^{- \frac{1}{2} + 2}}$

解题步骤 10.2.3.3

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{1}{2 x^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}}$

解题步骤 10.2.3.4

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{1}{2 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}}$

解题步骤 10.2.3.5

在公分母上合并分子。

$- \frac{1}{2 x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}}}$

解题步骤 10.2.3.6

化简分子。

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解题步骤 10.2.3.6.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{1}{2 x^{\frac{- 1 + 4}{2}}}$

解题步骤 10.2.3.6.2

将 $- 1$ 和 $4$ 相加。

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

微积分学 示例

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