微积分学示例

$\int \frac{8 x^{4} - 21 x^{3} + 10 x^{2}}{x} d x$

解题步骤 1

将分数分解成多个分数。

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解题步骤 1.1

从 $8 x^{4} - 21 x^{3} + 10 x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.1

从 $8 x^{4}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\int \frac{x^{2} (8 x^{2}) - 21 x^{3} + 10 x^{2}}{x} d x$

解题步骤 1.1.2

从 $- 21 x^{3}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\int \frac{x^{2} (8 x^{2}) + x^{2} (- 21 x) + 10 x^{2}}{x} d x$

解题步骤 1.1.3

从 $10 x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\int \frac{x^{2} (8 x^{2}) + x^{2} (- 21 x) + x^{2} \cdot 10}{x} d x$

解题步骤 1.1.4

从 $x^{2} (8 x^{2}) + x^{2} (- 21 x)$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\int \frac{x^{2} (8 x^{2} - 21 x) + x^{2} \cdot 10}{x} d x$

解题步骤 1.1.5

从 $x^{2} (8 x^{2} - 21 x) + x^{2} \cdot 10$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\int \frac{x^{2} (8 x^{2} - 21 x + 10)}{x} d x$

解题步骤 1.2

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

从 $x^{2} (8 x^{2} - 21 x + 10)$ 中分解出因数 $x$ 。

$\int \frac{x (x (8 x^{2} - 21 x + 10))}{x} d x$

解题步骤 1.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \frac{x (x (8 x^{2} - 21 x + 10))}{x^{1}} d x$

解题步骤 1.2.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\int \frac{x (x (8 x^{2} - 21 x + 10))}{x \cdot 1} d x$

解题步骤 1.2.2.3

约去公因数。

$\int \frac{x (x (8 x^{2} - 21 x + 10))}{x \cdot 1} d x$

解题步骤 1.2.2.4

重写表达式。

$\int \frac{x (8 x^{2} - 21 x + 10)}{1} d x$

解题步骤 1.2.2.5

用 $x (8 x^{2} - 21 x + 10)$ 除以 $1$ 。

$\int x (8 x^{2} - 21 x + 10) d x$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

运用分配律。

$\int x (8 x^{2} - 21 x) + x \cdot 10 d x$

解题步骤 2.2

运用分配律。

$\int x (8 x^{2}) + x (- 21 x) + x \cdot 10 d x$

解题步骤 2.3

将 $x$ 和 $8$ 重新排序。

$\int 8 \cdot x \cdot x^{2} + x (- 21 x) + x \cdot 10 d x$

解题步骤 2.4

将 $x$ 和 $- 21$ 重新排序。

$\int 8 \cdot x \cdot x^{2} - 21 \cdot x \cdot x + x \cdot 10 d x$

解题步骤 2.5

将 $x$ 和 $10$ 重新排序。

$\int 8 \cdot x \cdot x^{2} - 21 \cdot x \cdot x + 10 \cdot x d x$

解题步骤 2.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 8 (x^{1} x^{2}) - 21 x \cdot x + 10 x d x$

解题步骤 2.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 8 x^{1 + 2} - 21 x \cdot x + 10 x d x$

解题步骤 2.8

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\int 8 x^{3} - 21 x \cdot x + 10 x d x$

解题步骤 2.9

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 8 x^{3} - 21 (x^{1} x) + 10 x d x$

解题步骤 2.10

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 8 x^{3} - 21 (x^{1} x^{1}) + 10 x d x$

解题步骤 2.11

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 8 x^{3} - 21 x^{1 + 1} + 10 x d x$

解题步骤 2.12

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int 8 x^{3} - 21 x^{2} + 10 x d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 8 x^{3} d x + \int - 21 x^{2} d x + \int 10 x d x$

解题步骤 4

由于 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $8$ 移到积分外。

$8 \int x^{3} d x + \int - 21 x^{2} d x + \int 10 x d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$8 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - 21 x^{2} d x + \int 10 x d x$

解题步骤 6

由于 $- 21$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 21$ 移到积分外。

$8 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 21 \int x^{2} d x + \int 10 x d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$8 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 21 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 10 x d x$

解题步骤 8

由于 $10$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $10$ 移到积分外。

$8 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 21 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 10 \int x d x$

解题步骤 9

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$8 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 21 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 10 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

化简。

$2 x^{4} - 7 x^{3} + 10 (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

解题步骤 10.2

化简。

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解题步骤 10.2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$2 x^{4} - 7 x^{3} + 10 \frac{x^{2}}{2} + C$

解题步骤 10.2.2

组合 $10$ 和 $\frac{x^{2}}{2}$ 。

$2 x^{4} - 7 x^{3} + \frac{10 x^{2}}{2} + C$

解题步骤 10.2.3

约去 $10$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.3.1

从 $10 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 x^{4} - 7 x^{3} + \frac{2 (5 x^{2})}{2} + C$

解题步骤 10.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 10.2.3.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 x^{4} - 7 x^{3} + \frac{2 (5 x^{2})}{2 (1)} + C$

解题步骤 10.2.3.2.2

约去公因数。

$2 x^{4} - 7 x^{3} + \frac{2 (5 x^{2})}{2 \cdot 1} + C$

解题步骤 10.2.3.2.3

重写表达式。

$2 x^{4} - 7 x^{3} + \frac{5 x^{2}}{1} + C$

解题步骤 10.2.3.2.4

用 $5 x^{2}$ 除以 $1$ 。

$2 x^{4} - 7 x^{3} + 5 x^{2} + C$

微积分学 示例

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