微积分学示例

$\int \frac{x - 5}{- 2 x + 2} d x$

解题步骤 1

用 $x - 5$ 除以 $- 2 x + 2$ 。

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解题步骤 1.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$2 x$

$2$

$x$

$5$

解题步骤 1.2

将被除数中的最高阶项 $x$ 除以除数中的最高阶项 $- 2 x$ 。

				-	$\frac{1}{2}$
-	$2 x$	+	$2$		$x$	-	$5$

解题步骤 1.3

将新的商式项乘以除数。

				-	$\frac{1}{2}$
-	$2 x$	+	$2$		$x$	-	$5$
				+	$x$	-	$1$

解题步骤 1.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x - 1$ 中的所有符号

				-	$\frac{1}{2}$
-	$2 x$	+	$2$		$x$	-	$5$
				-	$x$	+	$1$

解题步骤 1.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				-	$\frac{1}{2}$
-	$2 x$	+	$2$		$x$	-	$5$
				-	$x$	+	$1$
						-	$4$

解题步骤 1.6

最终答案为商加上余数除以除数。

$\int - \frac{1}{2} - \frac{4}{- 2 x + 2} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int - \frac{1}{2} d x + \int - \frac{4}{- 2 x + 2} d x$

解题步骤 3

约去 $4$ 和 $- 2 x + 2$ 的公因数。

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解题步骤 3.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int - \frac{1}{2} d x + \int - \frac{2 \cdot 2}{- 2 x + 2} d x$

解题步骤 3.2

约去公因数。

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解题步骤 3.2.1

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int - \frac{1}{2} d x + \int - \frac{2 \cdot 2}{2 (- x) + 2} d x$

解题步骤 3.2.2

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int - \frac{1}{2} d x + \int - \frac{2 \cdot 2}{2 (- x) + 2 (1)} d x$

解题步骤 3.2.3

从 $2 (- x) + 2 (1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int - \frac{1}{2} d x + \int - \frac{2 \cdot 2}{2 (- x + 1)} d x$

解题步骤 3.2.4

约去公因数。

$\int - \frac{1}{2} d x + \int - \frac{2 \cdot 2}{2 (- x + 1)} d x$

解题步骤 3.2.5

重写表达式。

$\int - \frac{1}{2} d x + \int - \frac{2}{- x + 1} d x$

解题步骤 4

应用常数不变法则。

$- \frac{1}{2} x + C + \int - \frac{2}{- x + 1} d x$

解题步骤 5

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \frac{1}{2} x + C - \int \frac{2}{- x + 1} d x$

解题步骤 6

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$- \frac{1}{2} x + C - (2 \int \frac{1}{- x + 1} d x)$

解题步骤 7

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{1}{2} x + C - 2 \int \frac{1}{- x + 1} d x$

解题步骤 8

使 $u = - x + 1$ 。然后使 $d u = - d x$ ，以便 $- d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 8.1

设 $u = - x + 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 8.1.1

重写。

$\frac{- 1}{1}$

解题步骤 8.1.2

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 8.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$- \frac{1}{2} x + C - 2 \int \frac{- 1}{u} d u$

解题步骤 9

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{2} x + C - 2 \int - \frac{1}{u} d u$

解题步骤 10

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \frac{1}{2} x + C - 2 (- \int \frac{1}{u} d u)$

解题步骤 11

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$- \frac{1}{2} x + C + 2 \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 12

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$- \frac{1}{2} x + C + 2 (\ln (| u |) + C)$

解题步骤 13

化简。

$- \frac{1}{2} x + 2 \ln (| u |) + C$

解题步骤 14

使用 $- x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{1}{2} x + 2 \ln (| - x + 1 |) + C$

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