微积分学示例

$\int_{0}^{π} \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} d x$

解题步骤 1

使 $u = 1 + \cos (x)$ 。然后使 $d u = - \sin (x) d x$ ，以便 $- d u = \sin (x) d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 1 + \cos (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $1 + \cos (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]$

解题步骤 1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $1 + \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 1.1.2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 1.1.3

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$0 - \sin (x)$

解题步骤 1.1.4

从 $0$ 中减去 $\sin (x)$ 。

$- \sin (x)$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = 1 + \cos (x)$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 1 + \cos (0)$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$u_{lower} = 1 + 1$

解题步骤 1.3.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$u_{lower} = 2$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = 1 + \cos (x)$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 1 + \cos (π)$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

化简每一项。

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解题步骤 1.5.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$u_{upper} = 1 - \cos (0)$

解题步骤 1.5.1.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 1$

解题步骤 1.5.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$u_{upper} = 1 - 1$

解题步骤 1.5.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$u_{upper} = 0$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 0$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{2}^{0} \frac{- 1}{u} d u$

解题步骤 2

将分数分解成多个分数。

$\int_{2}^{0} - \frac{1}{u} d u$

解题步骤 3

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int_{2}^{0} \frac{1}{u} d u$

解题步骤 4

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$- (\ln (| u |)]_{2}^{0})$

解题步骤 5

计算 $\ln (| u |)$ 在 $0$ 处和在 $2$ 处的值。

$- (\ln (| 0 |) - \ln (| 2 |))$

解题步骤 6

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$- \ln (\frac{| 0 |}{| 2 |})$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $0$ 之间的距离为 $0$ 。

$- \ln (\frac{0}{| 2 |})$

解题步骤 7.2

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $2$ 之间的距离为 $2$ 。

$- \ln (\frac{0}{2})$

解题步骤 7.3

用 $0$ 除以 $2$ 。

$- \ln (0)$

解题步骤 7.4

零的自然对数无定义。

无定义

$- \ln (0)$

解题步骤 8

零的自然对数无定义。

无定义

微积分学 示例

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