微积分学示例

$\sum_{k = 1}^{20} 100 (k^{2} - 5 k + 1)$

解题步骤 1

化简总和。

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解题步骤 1.1

运用分配律。

$100 k^{2} + 100 (- 5 k) + 100 \cdot 1$

解题步骤 1.2

化简。

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解题步骤 1.2.1

将 $- 5$ 乘以 $100$ 。

$100 k^{2} - 500 k + 100 \cdot 1$

解题步骤 1.2.2

将 $100$ 乘以 $1$ 。

$100 k^{2} - 500 k + 100$

解题步骤 1.3

重写该总和。

$\sum_{k = 1}^{20} 100 k^{2} - 500 k + 100$

解题步骤 2

将总和分解成适用总和法则的更小总和。

$\sum_{k = 1}^{20} 100 k^{2} - 500 k + 100 = 100 \sum_{k = 1}^{20} k^{2} - 500 \sum_{k = 1}^{20} k + \sum_{k = 1}^{20} 100$

解题步骤 3

计算 $100 \sum_{k = 1}^{20} k^{2}$ 。

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解题步骤 3.1

度数为 $2$ 的多项式求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

解题步骤 3.2

将该值代入公式并确保乘以前项。

$(100) (\frac{20 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1)}{6})$

解题步骤 3.3

化简。

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解题步骤 3.3.1

化简分子。

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解题步骤 3.3.1.1

将 $20$ 和 $1$ 相加。

$100 \frac{20 \cdot 21 (2 \cdot 20 + 1)}{6}$

解题步骤 3.3.1.2

合并指数。

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解题步骤 3.3.1.2.1

将 $20$ 乘以 $21$ 。

$100 \frac{420 (2 \cdot 20 + 1)}{6}$

解题步骤 3.3.1.2.2

将 $2$ 乘以 $20$ 。

$100 \frac{420 (40 + 1)}{6}$

解题步骤 3.3.1.3

将 $40$ 和 $1$ 相加。

$100 \frac{420 \cdot 41}{6}$

解题步骤 3.3.2

化简项。

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解题步骤 3.3.2.1

将 $420$ 乘以 $41$ 。

$100 (\frac{17220}{6})$

解题步骤 3.3.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.2.1

从 $100$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (50) \frac{17220}{6}$

解题步骤 3.3.2.2.2

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 \cdot 50 \frac{17220}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.3.2.2.3

约去公因数。

$2 \cdot 50 \frac{17220}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.3.2.2.4

重写表达式。

$50 (\frac{17220}{3})$

解题步骤 3.3.2.3

组合 $50$ 和 $\frac{17220}{3}$ 。

$\frac{50 \cdot 17220}{3}$

解题步骤 3.3.2.4

化简表达式。

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解题步骤 3.3.2.4.1

将 $50$ 乘以 $17220$ 。

$\frac{861000}{3}$

解题步骤 3.3.2.4.2

用 $861000$ 除以 $3$ 。

$287000$

解题步骤 4

计算 $500 \sum_{k = 1}^{20} k$ 。

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解题步骤 4.1

度数为 $1$ 的多项式求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

解题步骤 4.2

将该值代入公式并确保乘以前项。

$(- 500) (\frac{20 (20 + 1)}{2})$

解题步骤 4.3

化简。

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解题步骤 4.3.1

化简表达式。

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解题步骤 4.3.1.1

将 $20$ 和 $1$ 相加。

$- 500 \frac{20 \cdot 21}{2}$

解题步骤 4.3.1.2

将 $20$ 乘以 $21$ 。

$- 500 (\frac{420}{2})$

解题步骤 4.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.1

从 $- 500$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (- 250) \frac{420}{2}$

解题步骤 4.3.2.2

约去公因数。

$2 \cdot - 250 \frac{420}{2}$

解题步骤 4.3.2.3

重写表达式。

$- 250 \cdot 420$

解题步骤 4.3.3

将 $- 250$ 乘以 $420$ 。

$- 105000$

解题步骤 5

计算 $\sum_{k = 1}^{20} 100$ 。

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解题步骤 5.1

常数求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

解题步骤 5.2

将值代入公式中。

$(100) (20)$

解题步骤 5.3

将 $100$ 乘以 $20$ 。

$2000$

解题步骤 6

将求和的总和相加。

$287000 - 105000 + 2000$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

从 $287000$ 中减去 $105000$ 。

$182000 + 2000$

解题步骤 7.2

将 $182000$ 和 $2000$ 相加。

$184000$

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