微积分学示例

$lim_{x \to - 2} \frac{x^{2} + 4 x + 4}{x^{3} + x^{2} - 8 x - 12}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to - 2} x^{2} + 4 x + 4}{lim_{x \to - 2} x^{3} + x^{2} - 8 x - 12}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

当 $x$ 趋于 $- 2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to - 2} x^{2} + lim_{x \to - 2} 4 x + lim_{x \to - 2} 4}{lim_{x \to - 2} x^{3} + x^{2} - 8 x - 12}$

解题步骤 1.1.2.2

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to - 2} x)}^{2} + lim_{x \to - 2} 4 x + lim_{x \to - 2} 4}{lim_{x \to - 2} x^{3} + x^{2} - 8 x - 12}$

解题步骤 1.1.2.3

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to - 2} x)}^{2} + 4 lim_{x \to - 2} x + lim_{x \to - 2} 4}{lim_{x \to - 2} x^{3} + x^{2} - 8 x - 12}$

解题步骤 1.1.2.4

计算 $4$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 2$ 时此极限值为常数。

$\frac{{(lim_{x \to - 2} x)}^{2} + 4 lim_{x \to - 2} x + 4}{lim_{x \to - 2} x^{3} + x^{2} - 8 x - 12}$

解题步骤 1.1.2.5

将 $- 2$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.5.1

将 $- 2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{{(- 2)}^{2} + 4 lim_{x \to - 2} x + 4}{lim_{x \to - 2} x^{3} + x^{2} - 8 x - 12}$

解题步骤 1.1.2.5.2

将 $- 2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{{(- 2)}^{2} + 4 \cdot - 2 + 4}{lim_{x \to - 2} x^{3} + x^{2} - 8 x - 12}$

解题步骤 1.1.2.6

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.6.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.6.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{4 + 4 \cdot - 2 + 4}{lim_{x \to - 2} x^{3} + x^{2} - 8 x - 12}$

解题步骤 1.1.2.6.1.2

将 $4$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{4 - 8 + 4}{lim_{x \to - 2} x^{3} + x^{2} - 8 x - 12}$

解题步骤 1.1.2.6.2

从 $4$ 中减去 $8$ 。

$\frac{- 4 + 4}{lim_{x \to - 2} x^{3} + x^{2} - 8 x - 12}$

解题步骤 1.1.2.6.3

将 $- 4$ 和 $4$ 相加。

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} x^{3} + x^{2} - 8 x - 12}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

当 $x$ 趋于 $- 2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} x^{3} + lim_{x \to - 2} x^{2} - lim_{x \to - 2} 8 x - lim_{x \to - 2} 12}$

解题步骤 1.1.3.2

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 2} x)}^{3} + lim_{x \to - 2} x^{2} - lim_{x \to - 2} 8 x - lim_{x \to - 2} 12}$

解题步骤 1.1.3.3

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 2} x)}^{3} + {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - lim_{x \to - 2} 8 x - lim_{x \to - 2} 12}$

解题步骤 1.1.3.4

因为项 $8$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 2} x)}^{3} + {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - 8 lim_{x \to - 2} x - lim_{x \to - 2} 12}$

解题步骤 1.1.3.5

计算 $12$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 2$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 2} x)}^{3} + {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - 8 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 12}$

解题步骤 1.1.3.6

将 $- 2$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.1.3.6.1

将 $- 2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{{(- 2)}^{3} + {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - 8 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 12}$

解题步骤 1.1.3.6.2

将 $- 2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{{(- 2)}^{3} + {(- 2)}^{2} - 8 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 12}$

解题步骤 1.1.3.6.3

将 $- 2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{{(- 2)}^{3} + {(- 2)}^{2} - 8 \cdot - 2 - 1 \cdot 12}$

解题步骤 1.1.3.7

化简答案。

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解题步骤 1.1.3.7.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.3.7.1.1

对 $- 2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{0}{- 8 + {(- 2)}^{2} - 8 \cdot - 2 - 1 \cdot 12}$

解题步骤 1.1.3.7.1.2

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{0}{- 8 + 4 - 8 \cdot - 2 - 1 \cdot 12}$

解题步骤 1.1.3.7.1.3

将 $- 8$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{0}{- 8 + 4 + 16 - 1 \cdot 12}$

解题步骤 1.1.3.7.1.4

将 $- 1$ 乘以 $12$ 。

$\frac{0}{- 8 + 4 + 16 - 12}$

解题步骤 1.1.3.7.2

将 $- 8$ 和 $4$ 相加。

$\frac{0}{- 4 + 16 - 12}$

解题步骤 1.1.3.7.3

将 $- 4$ 和 $16$ 相加。

$\frac{0}{12 - 12}$

解题步骤 1.1.3.7.4

从 $12$ 中减去 $12$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.7.5

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.8

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to - 2} \frac{x^{2} + 4 x + 4}{x^{3} + x^{2} - 8 x - 12} = lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - 8 x - 12]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - 8 x - 12]}$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $x^{2} + 4 x + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - 8 x - 12]}$

解题步骤 1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - 8 x - 12]}$

解题步骤 1.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [4 x]$ 。

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解题步骤 1.3.4.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - 8 x - 12]}$

解题步骤 1.3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - 8 x - 12]}$

解题步骤 1.3.4.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x + 4 + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - 8 x - 12]}$

解题步骤 1.3.5

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x + 4 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - 8 x - 12]}$

解题步骤 1.3.6

将 $2 x + 4$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x + 4}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - 8 x - 12]}$

解题步骤 1.3.7

根据加法法则， $x^{3} + x^{2} - 8 x - 12$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 12]$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x + 4}{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 12]}$

解题步骤 1.3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x + 4}{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 12]}$

解题步骤 1.3.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x + 4}{3 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 12]}$

解题步骤 1.3.10

计算 $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ 。

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解题步骤 1.3.10.1

因为 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 8 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x + 4}{3 x^{2} + 2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 12]}$

解题步骤 1.3.10.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x + 4}{3 x^{2} + 2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 12]}$

解题步骤 1.3.10.3

将 $- 8$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x + 4}{3 x^{2} + 2 x - 8 + \frac{d}{d x} [- 12]}$

解题步骤 1.3.11

因为 $- 12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 12$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x + 4}{3 x^{2} + 2 x - 8 + 0}$

解题步骤 1.3.12

将 $3 x^{2} + 2 x - 8$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x + 4}{3 x^{2} + 2 x - 8}$

解题步骤 2

运用洛必达法则。

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解题步骤 2.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 2.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to - 2} 2 x + 4}{lim_{x \to - 2} 3 x^{2} + 2 x - 8}$

解题步骤 2.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 2.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 2.1.2.1.1

当 $x$ 趋于 $- 2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to - 2} 2 x + lim_{x \to - 2} 4}{lim_{x \to - 2} 3 x^{2} + 2 x - 8}$

解题步骤 2.1.2.1.2

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2 lim_{x \to - 2} x + lim_{x \to - 2} 4}{lim_{x \to - 2} 3 x^{2} + 2 x - 8}$

解题步骤 2.1.2.1.3

计算 $4$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 2$ 时此极限值为常数。

$\frac{2 lim_{x \to - 2} x + 4}{lim_{x \to - 2} 3 x^{2} + 2 x - 8}$

解题步骤 2.1.2.2

将 $- 2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2 \cdot - 2 + 4}{lim_{x \to - 2} 3 x^{2} + 2 x - 8}$

解题步骤 2.1.2.3

化简答案。

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解题步骤 2.1.2.3.1

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{- 4 + 4}{lim_{x \to - 2} 3 x^{2} + 2 x - 8}$

解题步骤 2.1.2.3.2

将 $- 4$ 和 $4$ 相加。

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} 3 x^{2} + 2 x - 8}$

解题步骤 2.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 2.1.3.1

当 $x$ 趋于 $- 2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} 3 x^{2} + lim_{x \to - 2} 2 x - lim_{x \to - 2} 8}$

解题步骤 2.1.3.2

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{3 lim_{x \to - 2} x^{2} + lim_{x \to - 2} 2 x - lim_{x \to - 2} 8}$

解题步骤 2.1.3.3

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} + lim_{x \to - 2} 2 x - lim_{x \to - 2} 8}$

解题步骤 2.1.3.4

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} + 2 lim_{x \to - 2} x - lim_{x \to - 2} 8}$

解题步骤 2.1.3.5

计算 $8$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 2$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} + 2 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 8}$

解题步骤 2.1.3.6

将 $- 2$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 2.1.3.6.1

将 $- 2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{3 {(- 2)}^{2} + 2 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 8}$

解题步骤 2.1.3.6.2

将 $- 2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{3 {(- 2)}^{2} + 2 \cdot - 2 - 1 \cdot 8}$

解题步骤 2.1.3.7

化简答案。

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解题步骤 2.1.3.7.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.3.7.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{0}{3 \cdot 4 + 2 \cdot - 2 - 1 \cdot 8}$

解题步骤 2.1.3.7.1.2

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$\frac{0}{12 + 2 \cdot - 2 - 1 \cdot 8}$

解题步骤 2.1.3.7.1.3

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{0}{12 - 4 - 1 \cdot 8}$

解题步骤 2.1.3.7.1.4

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$\frac{0}{12 - 4 - 8}$

解题步骤 2.1.3.7.2

从 $12$ 中减去 $4$ 。

$\frac{0}{8 - 8}$

解题步骤 2.1.3.7.3

从 $8$ 中减去 $8$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.1.3.7.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.1.3.8

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x + 4}{3 x^{2} + 2 x - 8} = lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [2 x + 4]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 2 x - 8]}$

解题步骤 2.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 2.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [2 x + 4]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 2 x - 8]}$

解题步骤 2.3.2

根据加法法则， $2 x + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 2 x - 8]}$

解题步骤 2.3.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 2.3.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 2 x - 8]}$

解题步骤 2.3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 2 x - 8]}$

解题步骤 2.3.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{2 + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 2 x - 8]}$

解题步骤 2.3.4

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{2 + 0}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 2 x - 8]}$

解题步骤 2.3.5

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to - 2} \frac{2}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 2 x - 8]}$

解题步骤 2.3.6

根据加法法则， $3 x^{2} + 2 x - 8$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{2}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8]}$

解题步骤 2.3.7

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.3.7.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{2}{3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8]}$

解题步骤 2.3.7.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{2}{3 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8]}$

解题步骤 2.3.7.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{2}{6 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8]}$

解题步骤 2.3.8

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 2.3.8.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{2}{6 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]}$

解题步骤 2.3.8.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{2}{6 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]}$

解题步骤 2.3.8.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{2}{6 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 8]}$

解题步骤 2.3.9

因为 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 8$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{2}{6 x + 2 + 0}$

解题步骤 2.3.10

将 $6 x + 2$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to - 2} \frac{2}{6 x + 2}$

解题步骤 2.4

约去 $2$ 和 $6 x + 2$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{2 \cdot 1}{6 x + 2}$

解题步骤 2.4.2

约去公因数。

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解题步骤 2.4.2.1

从 $6 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{2 \cdot 1}{2 (3 x) + 2}$

解题步骤 2.4.2.2

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{2 \cdot 1}{2 (3 x) + 2 (1)}$

解题步骤 2.4.2.3

从 $2 (3 x) + 2 (1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{2 \cdot 1}{2 (3 x + 1)}$

解题步骤 2.4.2.4

约去公因数。

$lim_{x \to - 2} \frac{2 \cdot 1}{2 (3 x + 1)}$

解题步骤 2.4.2.5

重写表达式。

$lim_{x \to - 2} \frac{1}{3 x + 1}$

解题步骤 3

计算极限值。

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解题步骤 3.1

当 $x$ 趋于 $- 2$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to - 2} 1}{lim_{x \to - 2} 3 x + 1}$

解题步骤 3.2

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 2$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{lim_{x \to - 2} 3 x + 1}$

解题步骤 3.3

当 $x$ 趋于 $- 2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{lim_{x \to - 2} 3 x + lim_{x \to - 2} 1}$

解题步骤 3.4

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{3 lim_{x \to - 2} x + lim_{x \to - 2} 1}$

解题步骤 3.5

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 2$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{3 lim_{x \to - 2} x + 1}$

解题步骤 4

将 $- 2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{3 \cdot - 2 + 1}$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

化简分母。

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解题步骤 5.1.1

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{1}{- 6 + 1}$

解题步骤 5.1.2

将 $- 6$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{- 5}$

解题步骤 5.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{5}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{1}{5}$

小数形式：

$- 0.2$

微积分学 示例

微积分学示例