微积分学示例

$\cos (x y) = 2 x$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (\cos (x y)) = \frac{d}{d x} (2 x)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = x y$ 。

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解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x y$ 。

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 2.1.2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 2.1.3

使用 $x y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \sin (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = y$ 。

$- \sin (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$- \sin (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \sin (x y) (x y' + y \cdot 1)$

解题步骤 2.5

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$- \sin (x y) (x y' + y)$

解题步骤 2.6

化简。

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解题步骤 2.6.1

运用分配律。

$- \sin (x y) (x y') - \sin (x y) y$

解题步骤 2.6.2

重新排序项。

$- x \sin (x y) y' - y \sin (x y)$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$- x \sin (x y) y' - y \sin (x y) = 2$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

化简左边。

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解题步骤 5.1.1

将 $- x \sin (x y) y' - y \sin (x y)$ 中的因式重新排序。

$- x y' \sin (x y) - y \sin (x y) = 2$

解题步骤 5.2

在等式两边都加上 $y \sin (x y)$ 。

$- x y' \sin (x y) = 2 + y \sin (x y)$

解题步骤 5.3

将 $- x y' \sin (x y) = 2 + y \sin (x y)$ 中的每一项除以 $- x \sin (x y)$ 并化简。

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解题步骤 5.3.1

将 $- x y' \sin (x y) = 2 + y \sin (x y)$ 中的每一项都除以 $- x \sin (x y)$ 。

$\frac{- x y' \sin (x y)}{- x \sin (x y)} = \frac{2}{- x \sin (x y)} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y)}$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x y' \sin (x y)}{x \sin (x y)} = \frac{2}{- x \sin (x y)} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y)}$

解题步骤 5.3.2.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.2.1

约去公因数。

$\frac{x y' \sin (x y)}{x \sin (x y)} = \frac{2}{- x \sin (x y)} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y)}$

解题步骤 5.3.2.2.2

重写表达式。

$\frac{y' \sin (x y)}{\sin (x y)} = \frac{2}{- x \sin (x y)} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y)}$

解题步骤 5.3.2.3

约去 $\sin (x y)$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.3.1

约去公因数。

$\frac{y' \sin (x y)}{\sin (x y)} = \frac{2}{- x \sin (x y)} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y)}$

解题步骤 5.3.2.3.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{2}{- x \sin (x y)} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y)}$

解题步骤 5.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.3.1.1

分离分数。

$y' = \frac{2}{- x} \cdot \frac{1}{\sin (x y)} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y)}$

解题步骤 5.3.3.1.2

将 $\frac{1}{\sin (x y)}$ 转换成 $\csc (x y)$ 。

$y' = \frac{2}{- x} \csc (x y) + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y)}$

解题步骤 5.3.3.1.3

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{2}{x} \csc (x y) + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y)}$

解题步骤 5.3.3.1.4

组合 $\csc (x y)$ 和 $\frac{2}{x}$ 。

$y' = - \frac{\csc (x y) \cdot 2}{x} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y)}$

解题步骤 5.3.3.1.5

将 $2$ 移到 $\csc (x y)$ 的左侧。

$y' = - \frac{2 \cdot \csc (x y)}{x} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y)}$

解题步骤 5.3.3.1.6

约去 $\sin (x y)$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.1.6.1

约去公因数。

$y' = - \frac{2 \csc (x y)}{x} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y)}$

解题步骤 5.3.3.1.6.2

重写表达式。

$y' = - \frac{2 \csc (x y)}{x} + \frac{y}{- x}$

解题步骤 5.3.3.1.7

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{2 \csc (x y)}{x} - \frac{y}{x}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 \csc (x y)}{x} - \frac{y}{x}$

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