微积分学示例

$2 x - 5 x^{6}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $2 x - 5 x^{6}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{6}]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{6}]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{6}]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5 x^{6}]$

解题步骤 1.2.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + \frac{d}{d x} [- 5 x^{6}]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 5 x^{6}]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x^{6}$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ 。

$2 - 5 \frac{d}{d x} [x^{6}]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 6$ 。

$2 - 5 (6 x^{5})$

解题步骤 1.3.3

将 $6$ 乘以 $- 5$ 。

$2 - 30 x^{5}$

解题步骤 1.4

重新排序项。

$f' (x) = - 30 x^{5} + 2$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $- 30 x^{5} + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 30 x^{5}] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$\frac{d}{d x} [- 30 x^{5}] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 30 x^{5}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 30$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 30 x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $- 30 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$- 30 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$- 30 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.2.3

将 $5$ 乘以 $- 30$ 。

$- 150 x^{4} + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 150 x^{4} + 0$

解题步骤 2.3.2

将 $- 150 x^{4}$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - 150 x^{4}$

微积分学 示例

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