微积分学示例

$(x + 1) \cdot e^{x}$

解题步骤 1

将 $(x + 1) \cdot e^{x}$ 书写为一个函数。

$f (x) = (x + 1) \cdot e^{x}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int (x + 1) \cdot e^{x} d x$

解题步骤 4

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x + 1$ ， $d v = e^{x}$ 。

$(x + 1) e^{x} - \int e^{x} d x$

解题步骤 5

$e^{x}$ 对 $x$ 的积分为 $e^{x}$ 。

$(x + 1) e^{x} - (e^{x} + C)$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

将 $(x + 1) e^{x} - (e^{x} + C)$ 重写为 $x e^{x} + e^{x} - e^{x} + C$ 。

$x e^{x} + e^{x} - e^{x} + C$

解题步骤 6.2

化简。

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解题步骤 6.2.1

从 $e^{x}$ 中减去 $e^{x}$ 。

$x e^{x} + 0 + C$

解题步骤 6.2.2

将 $x e^{x}$ 和 $0$ 相加。

$x e^{x} + C$

解题步骤 7

答案是函数 $f (x) = (x + 1) \cdot e^{x}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $x e^{x} + C$

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