微积分学示例

$5 x - 3 {(x - 1)}^{2}$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

将 ${(x - 1)}^{2}$ 重写为 $(x - 1) (x - 1)$ 。

$f (x) = 5 x - 3 ((x - 1) (x - 1))$

解题步骤 1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x - 1) (x - 1)$ 。

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解题步骤 1.2.1

运用分配律。

$f (x) = 5 x - 3 (x (x - 1) - 1 (x - 1))$

解题步骤 1.2.2

运用分配律。

$f (x) = 5 x - 3 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))$

解题步骤 1.2.3

运用分配律。

$f (x) = 5 x - 3 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)$

解题步骤 1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f (x) = 5 x - 3 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)$

解题步骤 1.3.1.2

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$f (x) = 5 x - 3 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)$

解题步骤 1.3.1.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$f (x) = 5 x - 3 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)$

解题步骤 1.3.1.4

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$f (x) = 5 x - 3 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)$

解题步骤 1.3.1.5

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (x) = 5 x - 3 (x^{2} - x - x + 1)$

解题步骤 1.3.2

从 $- x$ 中减去 $x$ 。

$f (x) = 5 x - 3 (x^{2} - 2 x + 1)$

解题步骤 1.4

运用分配律。

$f (x) = 5 x - 3 x^{2} - 3 (- 2 x) - 3 \cdot 1$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

将 $- 2$ 乘以 $- 3$ 。

$f (x) = 5 x - 3 x^{2} + 6 x - 3 \cdot 1$

解题步骤 1.5.2

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$f (x) = 5 x - 3 x^{2} + 6 x - 3$

解题步骤 2

将 $5 x$ 和 $6 x$ 相加。

$f (x) = - 3 x^{2} + 11 x - 3$

解题步骤 3

二次函数最大值出现在 $x = - \frac{b}{2 a}$ 。如果 $a$ 是负数，则函数的最大值是 $f (- \frac{b}{2 a})$ 。

$f_{max}$ $x = a x^{2} + b x + c$ 在 $x = - \frac{b}{2 a}$ 出现

解题步骤 4

求 $x = - \frac{b}{2 a}$ 的值。

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解题步骤 4.1

代入 $a$ 和 $b$ 的值。

$x = - \frac{11}{2 (- 3)}$

解题步骤 4.2

去掉圆括号。

$x = - \frac{11}{2 (- 3)}$

解题步骤 4.3

化简 $- \frac{11}{2 (- 3)}$ 。

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解题步骤 4.3.1

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$x = - \frac{11}{- 6}$

解题步骤 4.3.2

将负号移到分数的前面。

$x = - - \frac{11}{6}$

解题步骤 4.3.3

乘以 $- - \frac{11}{6}$ 。

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解题步骤 4.3.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$x = 1 (\frac{11}{6})$

解题步骤 4.3.3.2

将 $\frac{11}{6}$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{11}{6}$

解题步骤 5

计算 $f (\frac{11}{6})$ 。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $\frac{11}{6}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{11}{6}) = - 3 {(\frac{11}{6})}^{2} + 11 (\frac{11}{6}) - 3$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $\frac{11}{6}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{11}{6}) = - 3 \frac{11^{2}}{6^{2}} + 11 (\frac{11}{6}) - 3$

解题步骤 5.2.1.2

对 $11$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{11}{6}) = - 3 \frac{121}{6^{2}} + 11 (\frac{11}{6}) - 3$

解题步骤 5.2.1.3

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{11}{6}) = - 3 (\frac{121}{36}) + 11 (\frac{11}{6}) - 3$

解题步骤 5.2.1.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.4.1

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (\frac{11}{6}) = 3 (- 1) (\frac{121}{36}) + 11 (\frac{11}{6}) - 3$

解题步骤 5.2.1.4.2

从 $36$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (\frac{11}{6}) = 3 \cdot (- 1 \frac{121}{3 \cdot 12}) + 11 (\frac{11}{6}) - 3$

解题步骤 5.2.1.4.3

约去公因数。

$f (\frac{11}{6}) = 3 \cdot (- 1 \frac{121}{3 \cdot 12}) + 11 (\frac{11}{6}) - 3$

解题步骤 5.2.1.4.4

重写表达式。

$f (\frac{11}{6}) = - 1 (\frac{121}{12}) + 11 (\frac{11}{6}) - 3$

解题步骤 5.2.1.5

将 $- 1 (\frac{121}{12})$ 重写为 $- (\frac{121}{12})$ 。

$f (\frac{11}{6}) = - (\frac{121}{12}) + 11 (\frac{11}{6}) - 3$

解题步骤 5.2.1.6

乘以 $11 (\frac{11}{6})$ 。

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解题步骤 5.2.1.6.1

组合 $11$ 和 $\frac{11}{6}$ 。

$f (\frac{11}{6}) = - \frac{121}{12} + \frac{11 \cdot 11}{6} - 3$

解题步骤 5.2.1.6.2

将 $11$ 乘以 $11$ 。

$f (\frac{11}{6}) = - \frac{121}{12} + \frac{121}{6} - 3$

解题步骤 5.2.2

求公分母。

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解题步骤 5.2.2.1

将 $\frac{121}{6}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{11}{6}) = - \frac{121}{12} + \frac{121}{6} \cdot \frac{2}{2} - 3$

解题步骤 5.2.2.2

将 $\frac{121}{6}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{11}{6}) = - \frac{121}{12} + \frac{121 \cdot 2}{6 \cdot 2} - 3$

解题步骤 5.2.2.3

将 $- 3$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f (\frac{11}{6}) = - \frac{121}{12} + \frac{121 \cdot 2}{6 \cdot 2} + \frac{- 3}{1}$

解题步骤 5.2.2.4

将 $\frac{- 3}{1}$ 乘以 $\frac{12}{12}$ 。

$f (\frac{11}{6}) = - \frac{121}{12} + \frac{121 \cdot 2}{6 \cdot 2} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{12}{12}$

解题步骤 5.2.2.5

将 $\frac{- 3}{1}$ 乘以 $\frac{12}{12}$ 。

$f (\frac{11}{6}) = - \frac{121}{12} + \frac{121 \cdot 2}{6 \cdot 2} + \frac{- 3 \cdot 12}{12}$

解题步骤 5.2.2.6

重新排序 $6 \cdot 2$ 的因式。

$f (\frac{11}{6}) = - \frac{121}{12} + \frac{121 \cdot 2}{2 \cdot 6} + \frac{- 3 \cdot 12}{12}$

解题步骤 5.2.2.7

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$f (\frac{11}{6}) = - \frac{121}{12} + \frac{121 \cdot 2}{12} + \frac{- 3 \cdot 12}{12}$

解题步骤 5.2.3

在公分母上合并分子。

$f (\frac{11}{6}) = \frac{- 121 + 121 \cdot 2 - 3 \cdot 12}{12}$

解题步骤 5.2.4

化简每一项。

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解题步骤 5.2.4.1

将 $121$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{11}{6}) = \frac{- 121 + 242 - 3 \cdot 12}{12}$

解题步骤 5.2.4.2

将 $- 3$ 乘以 $12$ 。

$f (\frac{11}{6}) = \frac{- 121 + 242 - 36}{12}$

解题步骤 5.2.5

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 5.2.5.1

将 $- 121$ 和 $242$ 相加。

$f (\frac{11}{6}) = \frac{121 - 36}{12}$

解题步骤 5.2.5.2

从 $121$ 中减去 $36$ 。

$f (\frac{11}{6}) = \frac{85}{12}$

解题步骤 5.2.6

最终答案为 $\frac{85}{12}$ 。

$\frac{85}{12}$

解题步骤 6

使用 $x$ 和 $y$ 的值求最大值出现的位置。

$(\frac{11}{6}, \frac{85}{12})$

解题步骤 7

微积分学 示例

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