微积分学示例

$\arcsin (x)$

解题步骤 1

$\arcsin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ 。

$f' (x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1 - x^{2}}$ 重写成 ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 2.1.2

将 $\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 重写为 ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 。

$\frac{d}{d x} [{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

解题步骤 2.1.3

将 ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

解题步骤 2.1.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}}]$

解题步骤 2.1.3.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}]$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 1 - x^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $1 - x^{2}$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - \frac{1}{2}$ 。

$- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

解题步骤 2.2.3

使用 $1 - x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

解题步骤 2.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

解题步骤 2.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

解题步骤 2.5

在公分母上合并分子。

$- \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

解题步骤 2.6

化简分子。

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解题步骤 2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

解题步骤 2.6.2

从 $- 1$ 中减去 $2$ 。

$- \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

解题步骤 2.7

合并分数。

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解题步骤 2.7.1

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

解题步骤 2.7.2

组合 ${(1 - x^{2})}^{- \frac{3}{2}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

解题步骤 2.7.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(1 - x^{2})}^{- \frac{3}{2}}$ 移动到分母。

$- \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

解题步骤 2.8

根据加法法则， $1 - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$- \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

解题步骤 2.9

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

解题步骤 2.10

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 相加。

$- \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 2.11

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 2.12

乘。

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解题步骤 2.12.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.12.2

将 $\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (2 x)$

解题步骤 2.14

化简项。

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解题步骤 2.14.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ 。

$\frac{2}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} x$

解题步骤 2.14.2

组合 $\frac{2}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ 和 $x$ 。

$\frac{2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.14.3

约去公因数。

$\frac{2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.14.4

重写表达式。

$\frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.14.5

重新排序项。

$f'' (x) = \frac{x}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

微积分学 示例

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