微积分学示例

$f (x) = \frac{\sin (x)}{12 + \cos (x)}$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{\sin (x)}{12 + \cos (x)} d x$

解题步骤 3

使 $u = 12 + \cos (x)$ 。然后使 $d u = - \sin (x) d x$ ，以便 $- d u = \sin (x) d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 3.1

设 $u = 12 + \cos (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 3.1.1

对 $12 + \cos (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [12 + \cos (x)]$

解题步骤 3.1.2

求微分。

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解题步骤 3.1.2.1

根据加法法则， $12 + \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [12] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [12] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 3.1.2.2

因为 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 3.1.3

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$0 - \sin (x)$

解题步骤 3.1.4

从 $0$ 中减去 $\sin (x)$ 。

$- \sin (x)$

解题步骤 3.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{- 1}{u} d u$

解题步骤 4

将分数分解成多个分数。

$\int - \frac{1}{u} d u$

解题步骤 5

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 6

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$- (\ln (| u |) + C)$

解题步骤 7

化简。

$- \ln (| u |) + C$

解题步骤 8

使用 $12 + \cos (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \ln (| 12 + \cos (x) |) + C$

解题步骤 9

答案是函数 $f (x) = \frac{\sin (x)}{12 + \cos (x)}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $- \ln (| 12 + \cos (x) |) + C$

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