微积分学示例

$y = x^{2^{x}}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{2^{x}})$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

使用对数的性质化简微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.1

将 $x^{2^{x}}$ 重写为 $e^{\ln (x^{2^{x}})}$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{2^{x}})}]$

解题步骤 3.1.2

通过将 $2^{x}$ 移到对数外来展开 $\ln (x^{2^{x}})$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{2^{x} \ln (x)}]$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 2^{x} \ln (x)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2^{x} \ln (x)$ 。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2^{x} \ln (x)]$

解题步骤 3.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u} \frac{d}{d x} [2^{x} \ln (x)]$

解题步骤 3.2.3

使用 $2^{x} \ln (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{2^{x} \ln (x)} \frac{d}{d x} [2^{x} \ln (x)]$

解题步骤 3.3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 2^{x}$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

$e^{2^{x} \ln (x)} (2^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [2^{x}])$

解题步骤 3.4

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$e^{2^{x} \ln (x)} (2^{x} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [2^{x}])$

解题步骤 3.5

组合 $2^{x}$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$e^{2^{x} \ln (x)} (\frac{2^{x}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [2^{x}])$

解题步骤 3.6

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $2$ 。

$e^{2^{x} \ln (x)} (\frac{2^{x}}{x} + \ln (x) (2^{x} \ln (2)))$

解题步骤 3.7

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.7.1

运用分配律。

$e^{2^{x} \ln (x)} \frac{2^{x}}{x} + e^{2^{x} \ln (x)} (\ln (x) (2^{x} \ln (2)))$

解题步骤 3.7.2

组合 $e^{2^{x} \ln (x)}$ 和 $\frac{2^{x}}{x}$ 。

$\frac{e^{2^{x} \ln (x)} \cdot 2^{x}}{x} + e^{2^{x} \ln (x)} (\ln (x) (2^{x} \ln (2)))$

解题步骤 3.7.3

重新排序项。

$2^{x} e^{2^{x} \ln (x)} \ln (2) \ln (x) + \frac{e^{2^{x} \ln (x)} \cdot 2^{x}}{x}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = 2^{x} e^{2^{x} \ln (x)} \ln (2) \ln (x) + \frac{e^{2^{x} \ln (x)} \cdot 2^{x}}{x}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = 2^{x} e^{2^{x} \ln (x)} \ln (2) \ln (x) + \frac{e^{2^{x} \ln (x)} \cdot 2^{x}}{x}$

微积分学 示例

微积分学示例