微积分学示例

$y = 1 - 3 \cos (3 (x - \frac{π}{3}))$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $1 - 3 \cos (3 (x - \frac{π}{3}))$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (3 (x - \frac{π}{3}))]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (3 (x - \frac{π}{3}))]$

解题步骤 1.1.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (3 (x - \frac{π}{3}))]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 \cos (3 (x - \frac{π}{3}))]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 \cos (3 (x - \frac{π}{3}))$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [\cos (3 (x - \frac{π}{3}))]$ 。

$0 - 3 \frac{d}{d x} [\cos (3 (x - \frac{π}{3}))]$

解题步骤 1.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 3 (x - \frac{π}{3})$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 (x - \frac{π}{3})$ 。

$0 - 3 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [3 (x - \frac{π}{3})])$

解题步骤 1.2.2.2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$0 - 3 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [3 (x - \frac{π}{3})])$

解题步骤 1.2.2.3

使用 $3 (x - \frac{π}{3})$ 替换所有出现的 $u$ 。

$0 - 3 (- \sin (3 (x - \frac{π}{3})) \frac{d}{d x} [3 (x - \frac{π}{3})])$

解题步骤 1.2.3

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 (x - \frac{π}{3})$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{3}]$ 。

$0 - 3 (- \sin (3 (x - \frac{π}{3})) (3 \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{3}]))$

解题步骤 1.2.4

根据加法法则， $x - \frac{π}{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}]$ 。

$0 - 3 (- \sin (3 (x - \frac{π}{3})) (3 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}])))$

解题步骤 1.2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 - 3 (- \sin (3 (x - \frac{π}{3})) (3 (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}])))$

解题步骤 1.2.6

因为 $- \frac{π}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{π}{3}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 - 3 (- \sin (3 (x - \frac{π}{3})) (3 (1 + 0)))$

解题步骤 1.2.7

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$0 - 3 (- \sin (3 (x - \frac{π}{3})) (3 \cdot 1))$

解题步骤 1.2.8

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$0 - 3 (- \sin (3 (x - \frac{π}{3})) \cdot 3)$

解题步骤 1.2.9

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$0 - 3 (- 3 \sin (3 (x - \frac{π}{3})))$

解题步骤 1.2.10

将 $- 3$ 乘以 $- 3$ 。

$0 + 9 \sin (3 (x - \frac{π}{3}))$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

运用分配律。

$0 + 9 \sin (3 x + 3 (- \frac{π}{3}))$

解题步骤 1.3.2

合并项。

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解题步骤 1.3.2.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$0 + 9 \sin (3 x - 3 \frac{π}{3})$

解题步骤 1.3.2.2

组合 $- 3$ 和 $\frac{π}{3}$ 。

$0 + 9 \sin (3 x + \frac{- 3 π}{3})$

解题步骤 1.3.2.3

约去 $- 3$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.2.3.1

从 $- 3 π$ 中分解出因数 $3$ 。

$0 + 9 \sin (3 x + \frac{3 (- π)}{3})$

解题步骤 1.3.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 1.3.2.3.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$0 + 9 \sin (3 x + \frac{3 (- π)}{3 (1)})$

解题步骤 1.3.2.3.2.2

约去公因数。

$0 + 9 \sin (3 x + \frac{3 (- π)}{3 \cdot 1})$

解题步骤 1.3.2.3.2.3

重写表达式。

$0 + 9 \sin (3 x + \frac{- π}{1})$

解题步骤 1.3.2.3.2.4

用 $- π$ 除以 $1$ 。

$0 + 9 \sin (3 x - π)$

解题步骤 1.3.2.4

将 $0$ 和 $9 \sin (3 x - π)$ 相加。

$9 \sin (3 x - π)$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9 \sin (3 x - π)$ 对 $x$ 的导数是 $9 \frac{d}{d x} [\sin (3 x - π)]$ 。

$f'' (x) = 9 \frac{d}{d x} (\sin (3 x - π))$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 3 x - π$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 x - π$ 。

$f'' (x) = 9 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (3 x - π))$

解题步骤 2.2.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$f'' (x) = 9 (\cos (u) \frac{d}{d x} (3 x - π))$

解题步骤 2.2.3

使用 $3 x - π$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = 9 (\cos (3 x - π) \frac{d}{d x} (3 x - π))$

解题步骤 2.3

求微分。

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解题步骤 2.3.1

根据加法法则， $3 x - π$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- π]$ 。

$f'' (x) = 9 \cos (3 x - π) (\frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (- π))$

解题步骤 2.3.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 9 \cos (3 x - π) (3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- π))$

解题步骤 2.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 9 \cos (3 x - π) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- π))$

解题步骤 2.3.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 9 \cos (3 x - π) (3 + \frac{d}{d x} (- π))$

解题步骤 2.3.5

因为 $- π$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- π$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 9 \cos (3 x - π) (3 + 0)$

解题步骤 2.3.6

化简表达式。

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解题步骤 2.3.6.1

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 9 \cos (3 x - π) \cdot 3$

解题步骤 2.3.6.2

将 $3$ 乘以 $9$ 。

$f'' (x) = 27 \cos (3 x - π)$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$9 \sin (3 x - π) = 0$

解题步骤 4

将 $9 \sin (3 x - π) = 0$ 中的每一项除以 $9$ 并化简。

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解题步骤 4.1

将 $9 \sin (3 x - π) = 0$ 中的每一项都除以 $9$ 。

$\frac{9 \sin (3 x - π)}{9} = \frac{0}{9}$

解题步骤 4.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.1

约去 $9$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{9 \sin (3 x - π)}{9} = \frac{0}{9}$

解题步骤 4.2.1.2

用 $\sin (3 x - π)$ 除以 $1$ 。

$\sin (3 x - π) = \frac{0}{9}$

解题步骤 4.3

化简右边。

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解题步骤 4.3.1

用 $0$ 除以 $9$ 。

$\sin (3 x - π) = 0$

解题步骤 5

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$3 x - π = \arcsin (0)$

解题步骤 6

化简右边。

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解题步骤 6.1

$\arcsin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$3 x - π = 0$

解题步骤 7

在等式两边都加上 $π$ 。

$3 x = π$

解题步骤 8

将 $3 x = π$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 8.1

将 $3 x = π$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x}{3} = \frac{π}{3}$

解题步骤 8.2

化简左边。

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解题步骤 8.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 x}{3} = \frac{π}{3}$

解题步骤 8.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{π}{3}$

解题步骤 9

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$3 x - π = π - 0$

解题步骤 10

求解 $x$ 。

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解题步骤 10.1

从 $π$ 中减去 $0$ 。

$3 x - π = π$

解题步骤 10.2

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 10.2.1

在等式两边都加上 $π$ 。

$3 x = π + π$

解题步骤 10.2.2

将 $π$ 和 $π$ 相加。

$3 x = 2 π$

解题步骤 10.3

将 $3 x = 2 π$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 10.3.1

将 $3 x = 2 π$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x}{3} = \frac{2 π}{3}$

解题步骤 10.3.2

化简左边。

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解题步骤 10.3.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 10.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 x}{3} = \frac{2 π}{3}$

解题步骤 10.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{2 π}{3}$

解题步骤 11

方程 $3 x - π = 0$ 的解。

$x = \frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}$

解题步骤 12

计算在 $x = \frac{π}{3}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$27 \cos (3 (\frac{π}{3}) - π)$

解题步骤 13

计算二阶导数。

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解题步骤 13.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.1

约去公因数。

$27 \cos (3 \frac{π}{3} - π)$

解题步骤 13.1.2

重写表达式。

$27 \cos (π - π)$

解题步骤 13.2

从 $π$ 中减去 $π$ 。

$27 \cos (0)$

解题步骤 13.3

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$27 \cdot 1$

解题步骤 13.4

将 $27$ 乘以 $1$ 。

$27$

解题步骤 14

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = \frac{π}{3}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{π}{3}$ 是一个极小值

解题步骤 15

求 $x = \frac{π}{3}$ 时的 y 值。

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解题步骤 15.1

使用表达式中的 $\frac{π}{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{π}{3}) = 1 - 3 \cos (3 ((\frac{π}{3}) - \frac{π}{3}))$

解题步骤 15.2

化简结果。

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解题步骤 15.2.1

化简每一项。

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解题步骤 15.2.1.1

在公分母上合并分子。

$f (\frac{π}{3}) = 1 - 3 \cos (3 (\frac{π - π}{3}))$

解题步骤 15.2.1.2

从 $π$ 中减去 $π$ 。

$f (\frac{π}{3}) = 1 - 3 \cos (3 (\frac{0}{3}))$

解题步骤 15.2.1.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.1.3.1

约去公因数。

$f (\frac{π}{3}) = 1 - 3 \cos (3 (\frac{0}{3}))$

解题步骤 15.2.1.3.2

重写表达式。

$f (\frac{π}{3}) = 1 - 3 \cos (0)$

解题步骤 15.2.1.4

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$f (\frac{π}{3}) = 1 - 3 \cdot 1$

解题步骤 15.2.1.5

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{π}{3}) = 1 - 3$

解题步骤 15.2.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$f (\frac{π}{3}) = - 2$

解题步骤 15.2.3

最终答案为 $- 2$ 。

$y = - 2$

解题步骤 16

计算在 $x = \frac{2 π}{3}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$27 \cos (3 (\frac{2 π}{3}) - π)$

解题步骤 17

计算二阶导数。

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解题步骤 17.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 17.1.1

约去公因数。

$27 \cos (3 \frac{2 π}{3} - π)$

解题步骤 17.1.2

重写表达式。

$27 \cos (2 π - π)$

解题步骤 17.2

从 $2 π$ 中减去 $π$ 。

$27 \cos (π)$

解题步骤 17.3

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$27 (- \cos (0))$

解题步骤 17.4

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$27 (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 17.5

乘以 $27 (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 17.5.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$27 \cdot - 1$

解题步骤 17.5.2

将 $27$ 乘以 $- 1$ 。

$- 27$

解题步骤 18

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = \frac{2 π}{3}$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{2 π}{3}$ 是一个极大值

解题步骤 19

求 $x = \frac{2 π}{3}$ 时的 y 值。

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解题步骤 19.1

使用表达式中的 $\frac{2 π}{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{2 π}{3}) = 1 - 3 \cos (3 ((\frac{2 π}{3}) - \frac{π}{3}))$

解题步骤 19.2

化简结果。

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解题步骤 19.2.1

化简每一项。

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解题步骤 19.2.1.1

在公分母上合并分子。

$f (\frac{2 π}{3}) = 1 - 3 \cos (3 (\frac{2 π - π}{3}))$

解题步骤 19.2.1.2

从 $2 π$ 中减去 $π$ 。

$f (\frac{2 π}{3}) = 1 - 3 \cos (3 (\frac{π}{3}))$

解题步骤 19.2.1.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 19.2.1.3.1

约去公因数。

$f (\frac{2 π}{3}) = 1 - 3 \cos (3 (\frac{π}{3}))$

解题步骤 19.2.1.3.2

重写表达式。

$f (\frac{2 π}{3}) = 1 - 3 \cos (π)$

解题步骤 19.2.1.4

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$f (\frac{2 π}{3}) = 1 - 3 (- \cos (0))$

解题步骤 19.2.1.5

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$f (\frac{2 π}{3}) = 1 - 3 (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 19.2.1.6

乘以 $- 3 (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 19.2.1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{2 π}{3}) = 1 - 3 \cdot - 1$

解题步骤 19.2.1.6.2

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{2 π}{3}) = 1 + 3$

解题步骤 19.2.2

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$f (\frac{2 π}{3}) = 4$

解题步骤 19.2.3

最终答案为 $4$ 。

$y = 4$

解题步骤 20

这些是 $f (x) = 1 - 3 \cos (3 (x - \frac{π}{3}))$ 的局部极值。

$(\frac{π}{3}, - 2)$ 是一个局部最小值

$(\frac{2 π}{3}, 4)$ 是一个局部最大值

解题步骤 21

微积分学 示例

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