微积分学示例

$lim_{n \to - 5} \frac{\frac{2}{n + 3} - \frac{3}{n + 2}}{n + 5}$

解题步骤 1

合并项。

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解题步骤 1.1

要将 $\frac{2}{n + 3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{n + 2}{n + 2}$ 。

$lim_{n \to - 5} \frac{\frac{2}{n + 3} \cdot \frac{n + 2}{n + 2} - \frac{3}{n + 2}}{n + 5}$

解题步骤 1.2

要将 $- \frac{3}{n + 2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{n + 3}{n + 3}$ 。

$lim_{n \to - 5} \frac{\frac{2}{n + 3} \cdot \frac{n + 2}{n + 2} - \frac{3}{n + 2} \cdot \frac{n + 3}{n + 3}}{n + 5}$

解题步骤 1.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(n + 3) (n + 2)$ 的形式。

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解题步骤 1.3.1

将 $\frac{2}{n + 3}$ 乘以 $\frac{n + 2}{n + 2}$ 。

$lim_{n \to - 5} \frac{\frac{2 (n + 2)}{(n + 3) (n + 2)} - \frac{3}{n + 2} \cdot \frac{n + 3}{n + 3}}{n + 5}$

解题步骤 1.3.2

将 $\frac{3}{n + 2}$ 乘以 $\frac{n + 3}{n + 3}$ 。

$lim_{n \to - 5} \frac{\frac{2 (n + 2)}{(n + 3) (n + 2)} - \frac{3 (n + 3)}{(n + 2) (n + 3)}}{n + 5}$

解题步骤 1.3.3

重新排序 $(n + 3) (n + 2)$ 的因式。

$lim_{n \to - 5} \frac{\frac{2 (n + 2)}{(n + 2) (n + 3)} - \frac{3 (n + 3)}{(n + 2) (n + 3)}}{n + 5}$

解题步骤 1.4

在公分母上合并分子。

$lim_{n \to - 5} \frac{\frac{2 (n + 2) - 3 (n + 3)}{(n + 2) (n + 3)}}{n + 5}$

解题步骤 2

化简极限自变量。

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解题步骤 2.1

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{n \to - 5} \frac{2 (n + 2) - 3 (n + 3)}{(n + 2) (n + 3)} \cdot \frac{1}{n + 5}$

解题步骤 2.2

将 $\frac{2 (n + 2) - 3 (n + 3)}{(n + 2) (n + 3)}$ 乘以 $\frac{1}{n + 5}$ 。

$lim_{n \to - 5} \frac{2 (n + 2) - 3 (n + 3)}{(n + 2) (n + 3) (n + 5)}$

解题步骤 3

运用洛必达法则。

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解题步骤 3.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 3.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{n \to - 5} 2 (n + 2) - 3 (n + 3)}{lim_{n \to - 5} (n + 2) (n + 3) (n + 5)}$

解题步骤 3.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 3.1.2.1

当 $n$ 趋于 $- 5$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{n \to - 5} 2 (n + 2) - lim_{n \to - 5} 3 (n + 3)}{lim_{n \to - 5} (n + 2) (n + 3) (n + 5)}$

解题步骤 3.1.2.2

因为项 $2$ 对于 $n$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2 lim_{n \to - 5} n + 2 - lim_{n \to - 5} 3 (n + 3)}{lim_{n \to - 5} (n + 2) (n + 3) (n + 5)}$

解题步骤 3.1.2.3

当 $n$ 趋于 $- 5$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{2 (lim_{n \to - 5} n + lim_{n \to - 5} 2) - lim_{n \to - 5} 3 (n + 3)}{lim_{n \to - 5} (n + 2) (n + 3) (n + 5)}$

解题步骤 3.1.2.4

计算 $2$ 的极限值，当 $n$ 趋近于 $- 5$ 时此极限值为常数。

$\frac{2 (lim_{n \to - 5} n + 2) - lim_{n \to - 5} 3 (n + 3)}{lim_{n \to - 5} (n + 2) (n + 3) (n + 5)}$

解题步骤 3.1.2.5

因为项 $3$ 对于 $n$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2 (lim_{n \to - 5} n + 2) - 3 lim_{n \to - 5} n + 3}{lim_{n \to - 5} (n + 2) (n + 3) (n + 5)}$

解题步骤 3.1.2.6

当 $n$ 趋于 $- 5$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{2 (lim_{n \to - 5} n + 2) - 3 (lim_{n \to - 5} n + lim_{n \to - 5} 3)}{lim_{n \to - 5} (n + 2) (n + 3) (n + 5)}$

解题步骤 3.1.2.7

计算 $3$ 的极限值，当 $n$ 趋近于 $- 5$ 时此极限值为常数。

$\frac{2 (lim_{n \to - 5} n + 2) - 3 (lim_{n \to - 5} n + 3)}{lim_{n \to - 5} (n + 2) (n + 3) (n + 5)}$

解题步骤 3.1.2.8

将 $- 5$ 代入所有出现 $n$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1.2.8.1

将 $- 5$ 代入 $n$ 来计算 $n$ 的极限值。

$\frac{2 (- 5 + 2) - 3 (lim_{n \to - 5} n + 3)}{lim_{n \to - 5} (n + 2) (n + 3) (n + 5)}$

解题步骤 3.1.2.8.2

将 $- 5$ 代入 $n$ 来计算 $n$ 的极限值。

$\frac{2 (- 5 + 2) - 3 (- 5 + 3)}{lim_{n \to - 5} (n + 2) (n + 3) (n + 5)}$

解题步骤 3.1.2.9

化简答案。

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解题步骤 3.1.2.9.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.9.1.1

将 $- 5$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2 \cdot - 3 - 3 (- 5 + 3)}{lim_{n \to - 5} (n + 2) (n + 3) (n + 5)}$

解题步骤 3.1.2.9.1.2

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{- 6 - 3 (- 5 + 3)}{lim_{n \to - 5} (n + 2) (n + 3) (n + 5)}$

解题步骤 3.1.2.9.1.3

将 $- 5$ 和 $3$ 相加。

$\frac{- 6 - 3 \cdot - 2}{lim_{n \to - 5} (n + 2) (n + 3) (n + 5)}$

解题步骤 3.1.2.9.1.4

将 $- 3$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{- 6 + 6}{lim_{n \to - 5} (n + 2) (n + 3) (n + 5)}$

解题步骤 3.1.2.9.2

将 $- 6$ 和 $6$ 相加。

$\frac{0}{lim_{n \to - 5} (n + 2) (n + 3) (n + 5)}$

解题步骤 3.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 3.1.3.1

当 $n$ 趋于 $- 5$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{n \to - 5} n + 2 \cdot lim_{n \to - 5} n + 3 \cdot lim_{n \to - 5} n + 5}$

解题步骤 3.1.3.2

当 $n$ 趋于 $- 5$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{(lim_{n \to - 5} n + lim_{n \to - 5} 2) \cdot lim_{n \to - 5} n + 3 \cdot lim_{n \to - 5} n + 5}$

解题步骤 3.1.3.3

计算 $2$ 的极限值，当 $n$ 趋近于 $- 5$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{(lim_{n \to - 5} n + 2) \cdot lim_{n \to - 5} n + 3 \cdot lim_{n \to - 5} n + 5}$

解题步骤 3.1.3.4

当 $n$ 趋于 $- 5$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{(lim_{n \to - 5} n + 2) \cdot (lim_{n \to - 5} n + lim_{n \to - 5} 3) \cdot lim_{n \to - 5} n + 5}$

解题步骤 3.1.3.5

计算 $3$ 的极限值，当 $n$ 趋近于 $- 5$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{(lim_{n \to - 5} n + 2) \cdot (lim_{n \to - 5} n + 3) \cdot lim_{n \to - 5} n + 5}$

解题步骤 3.1.3.6

当 $n$ 趋于 $- 5$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{(lim_{n \to - 5} n + 2) \cdot (lim_{n \to - 5} n + 3) \cdot (lim_{n \to - 5} n + lim_{n \to - 5} 5)}$

解题步骤 3.1.3.7

计算 $5$ 的极限值，当 $n$ 趋近于 $- 5$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{(lim_{n \to - 5} n + 2) \cdot (lim_{n \to - 5} n + 3) \cdot (lim_{n \to - 5} n + 5)}$

解题步骤 3.1.3.8

将 $- 5$ 代入所有出现 $n$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1.3.8.1

将 $- 5$ 代入 $n$ 来计算 $n$ 的极限值。

$\frac{0}{(- 5 + 2) \cdot (lim_{n \to - 5} n + 3) \cdot (lim_{n \to - 5} n + 5)}$

解题步骤 3.1.3.8.2

将 $- 5$ 代入 $n$ 来计算 $n$ 的极限值。

$\frac{0}{(- 5 + 2) \cdot (- 5 + 3) \cdot (lim_{n \to - 5} n + 5)}$

解题步骤 3.1.3.8.3

将 $- 5$ 代入 $n$ 来计算 $n$ 的极限值。

$\frac{0}{(- 5 + 2) \cdot (- 5 + 3) \cdot (- 5 + 5)}$

解题步骤 3.1.3.9

化简答案。

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解题步骤 3.1.3.9.1

将 $- 5$ 和 $2$ 相加。

$\frac{0}{- 3 \cdot (- 5 + 3) \cdot (- 5 + 5)}$

解题步骤 3.1.3.9.2

将 $- 5$ 和 $3$ 相加。

$\frac{0}{- 3 \cdot - 2 \cdot (- 5 + 5)}$

解题步骤 3.1.3.9.3

将 $- 3$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{0}{6 \cdot (- 5 + 5)}$

解题步骤 3.1.3.9.4

将 $- 5$ 和 $5$ 相加。

$\frac{0}{6 \cdot 0}$

解题步骤 3.1.3.9.5

将 $6$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 3.1.3.9.6

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 3.1.3.10

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 3.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 3.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{n \to - 5} \frac{2 (n + 2) - 3 (n + 3)}{(n + 2) (n + 3) (n + 5)} = lim_{n \to - 5} \frac{\frac{d}{d n} [2 (n + 2) - 3 (n + 3)]}{\frac{d}{d n} [(n + 2) (n + 3) (n + 5)]}$

解题步骤 3.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{n \to - 5} \frac{\frac{d}{d n} [2 (n + 2) - 3 (n + 3)]}{\frac{d}{d n} [(n + 2) (n + 3) (n + 5)]}$

解题步骤 3.3.2

根据加法法则， $2 (n + 2) - 3 (n + 3)$ 对 $n$ 的导数是 $\frac{d}{d n} [2 (n + 2)] + \frac{d}{d n} [- 3 (n + 3)]$ 。

$lim_{n \to - 5} \frac{\frac{d}{d n} [2 (n + 2)] + \frac{d}{d n} [- 3 (n + 3)]}{\frac{d}{d n} [(n + 2) (n + 3) (n + 5)]}$

解题步骤 3.3.3

计算 $\frac{d}{d n} [2 (n + 2)]$ 。

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解题步骤 3.3.3.1

因为 $2$ 对于 $n$ 是常数，所以 $2 (n + 2)$ 对 $n$ 的导数是 $2 \frac{d}{d n} [n + 2]$ 。

$lim_{n \to - 5} \frac{2 \frac{d}{d n} [n + 2] + \frac{d}{d n} [- 3 (n + 3)]}{\frac{d}{d n} [(n + 2) (n + 3) (n + 5)]}$

解题步骤 3.3.3.2

根据加法法则， $n + 2$ 对 $n$ 的导数是 $\frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [2]$ 。

$lim_{n \to - 5} \frac{2 (\frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [2]) + \frac{d}{d n} [- 3 (n + 3)]}{\frac{d}{d n} [(n + 2) (n + 3) (n + 5)]}$

解题步骤 3.3.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ 等于 $n \cdot n^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{n \to - 5} \frac{2 (1 + \frac{d}{d n} [2]) + \frac{d}{d n} [- 3 (n + 3)]}{\frac{d}{d n} [(n + 2) (n + 3) (n + 5)]}$

解题步骤 3.3.3.4

因为 $2$ 对于 $n$ 是常数，所以 $2$ 对 $n$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{n \to - 5} \frac{2 (1 + 0) + \frac{d}{d n} [- 3 (n + 3)]}{\frac{d}{d n} [(n + 2) (n + 3) (n + 5)]}$

解题步骤 3.3.3.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{n \to - 5} \frac{2 \cdot 1 + \frac{d}{d n} [- 3 (n + 3)]}{\frac{d}{d n} [(n + 2) (n + 3) (n + 5)]}$

解题步骤 3.3.3.6

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{n \to - 5} \frac{2 + \frac{d}{d n} [- 3 (n + 3)]}{\frac{d}{d n} [(n + 2) (n + 3) (n + 5)]}$

解题步骤 3.3.4

计算 $\frac{d}{d n} [- 3 (n + 3)]$ 。

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解题步骤 3.3.4.1

因为 $- 3$ 对于 $n$ 是常数，所以 $- 3 (n + 3)$ 对 $n$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d n} [n + 3]$ 。

$lim_{n \to - 5} \frac{2 - 3 \frac{d}{d n} [n + 3]}{\frac{d}{d n} [(n + 2) (n + 3) (n + 5)]}$

解题步骤 3.3.4.2

根据加法法则， $n + 3$ 对 $n$ 的导数是 $\frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [3]$ 。

$lim_{n \to - 5} \frac{2 - 3 (\frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [3])}{\frac{d}{d n} [(n + 2) (n + 3) (n + 5)]}$

解题步骤 3.3.4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ 等于 $n \cdot n^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{n \to - 5} \frac{2 - 3 (1 + \frac{d}{d n} [3])}{\frac{d}{d n} [(n + 2) (n + 3) (n + 5)]}$

解题步骤 3.3.4.4

因为 $3$ 对于 $n$ 是常数，所以 $3$ 对 $n$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{n \to - 5} \frac{2 - 3 (1 + 0)}{\frac{d}{d n} [(n + 2) (n + 3) (n + 5)]}$

解题步骤 3.3.4.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{n \to - 5} \frac{2 - 3 \cdot 1}{\frac{d}{d n} [(n + 2) (n + 3) (n + 5)]}$

解题步骤 3.3.4.6

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$lim_{n \to - 5} \frac{2 - 3}{\frac{d}{d n} [(n + 2) (n + 3) (n + 5)]}$

解题步骤 3.3.5

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{\frac{d}{d n} [(n + 2) (n + 3) (n + 5)]}$

解题步骤 3.3.6

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d n} [f (n) g (n)]$ 等于 $f (n) \frac{d}{d n} [g (n)] + g (n) \frac{d}{d n} [f (n)]$ ，其中 $f (n) = (n + 2) (n + 3)$ 且 $g (n) = n + 5$ 。

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{(n + 2) (n + 3) \frac{d}{d n} [n + 5] + (n + 5) \frac{d}{d n} [(n + 2) (n + 3)]}$

解题步骤 3.3.7

根据加法法则， $n + 5$ 对 $n$ 的导数是 $\frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [5]$ 。

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{(n + 2) (n + 3) (\frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [5]) + (n + 5) \frac{d}{d n} [(n + 2) (n + 3)]}$

解题步骤 3.3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ 等于 $n \cdot n^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{(n + 2) (n + 3) (1 + \frac{d}{d n} [5]) + (n + 5) \frac{d}{d n} [(n + 2) (n + 3)]}$

解题步骤 3.3.9

因为 $5$ 对于 $n$ 是常数，所以 $5$ 对 $n$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{(n + 2) (n + 3) (1 + 0) + (n + 5) \frac{d}{d n} [(n + 2) (n + 3)]}$

解题步骤 3.3.10

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{(n + 2) (n + 3) \cdot 1 + (n + 5) \frac{d}{d n} [(n + 2) (n + 3)]}$

解题步骤 3.3.11

将 $n + 2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{(n + 2) (n + 3) + (n + 5) \frac{d}{d n} [(n + 2) (n + 3)]}$

解题步骤 3.3.12

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d n} [f (n) g (n)]$ 等于 $f (n) \frac{d}{d n} [g (n)] + g (n) \frac{d}{d n} [f (n)]$ ，其中 $f (n) = n + 2$ 且 $g (n) = n + 3$ 。

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{(n + 2) (n + 3) + (n + 5) ((n + 2) \frac{d}{d n} [n + 3] + (n + 3) \frac{d}{d n} [n + 2])}$

解题步骤 3.3.13

根据加法法则， $n + 3$ 对 $n$ 的导数是 $\frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [3]$ 。

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{(n + 2) (n + 3) + (n + 5) ((n + 2) (\frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [3]) + (n + 3) \frac{d}{d n} [n + 2])}$

解题步骤 3.3.14

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ 等于 $n \cdot n^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{(n + 2) (n + 3) + (n + 5) ((n + 2) (1 + \frac{d}{d n} [3]) + (n + 3) \frac{d}{d n} [n + 2])}$

解题步骤 3.3.15

因为 $3$ 对于 $n$ 是常数，所以 $3$ 对 $n$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{(n + 2) (n + 3) + (n + 5) ((n + 2) (1 + 0) + (n + 3) \frac{d}{d n} [n + 2])}$

解题步骤 3.3.16

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{(n + 2) (n + 3) + (n + 5) ((n + 2) \cdot 1 + (n + 3) \frac{d}{d n} [n + 2])}$

解题步骤 3.3.17

将 $n + 2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{(n + 2) (n + 3) + (n + 5) (n + 2 + (n + 3) \frac{d}{d n} [n + 2])}$

解题步骤 3.3.18

根据加法法则， $n + 2$ 对 $n$ 的导数是 $\frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [2]$ 。

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{(n + 2) (n + 3) + (n + 5) (n + 2 + (n + 3) (\frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [2]))}$

解题步骤 3.3.19

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ 等于 $n \cdot n^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{(n + 2) (n + 3) + (n + 5) (n + 2 + (n + 3) (1 + \frac{d}{d n} [2]))}$

解题步骤 3.3.20

因为 $2$ 对于 $n$ 是常数，所以 $2$ 对 $n$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{(n + 2) (n + 3) + (n + 5) (n + 2 + (n + 3) (1 + 0))}$

解题步骤 3.3.21

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{(n + 2) (n + 3) + (n + 5) (n + 2 + (n + 3) \cdot 1)}$

解题步骤 3.3.22

将 $n + 3$ 乘以 $1$ 。

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{(n + 2) (n + 3) + (n + 5) (n + 2 + n + 3)}$

解题步骤 3.3.23

将 $n$ 和 $n$ 相加。

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{(n + 2) (n + 3) + (n + 5) (2 n + 2 + 3)}$

解题步骤 3.3.24

将 $2$ 和 $3$ 相加。

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{(n + 2) (n + 3) + (n + 5) (2 n + 5)}$

解题步骤 3.3.25

化简。

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解题步骤 3.3.25.1

运用分配律。

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{(n + 2) n + (n + 2) \cdot 3 + (n + 5) (2 n + 5)}$

解题步骤 3.3.25.2

运用分配律。

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{n \cdot n + 2 n + (n + 2) \cdot 3 + (n + 5) (2 n + 5)}$

解题步骤 3.3.25.3

运用分配律。

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{n \cdot n + 2 n + n \cdot 3 + 2 \cdot 3 + (n + 5) (2 n + 5)}$

解题步骤 3.3.25.4

运用分配律。

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{n \cdot n + 2 n + n \cdot 3 + 2 \cdot 3 + (n + 5) (2 n) + (n + 5) \cdot 5}$

解题步骤 3.3.25.5

运用分配律。

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{n \cdot n + 2 n + n \cdot 3 + 2 \cdot 3 + n (2 n) + 5 (2 n) + (n + 5) \cdot 5}$

解题步骤 3.3.25.6

运用分配律。

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{n \cdot n + 2 n + n \cdot 3 + 2 \cdot 3 + n (2 n) + 5 (2 n) + n \cdot 5 + 5 \cdot 5}$

解题步骤 3.3.25.7

合并项。

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解题步骤 3.3.25.7.1

对 $n$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{n^{1} n + 2 n + n \cdot 3 + 2 \cdot 3 + n (2 n) + 5 (2 n) + n \cdot 5 + 5 \cdot 5}$

解题步骤 3.3.25.7.2

对 $n$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{n^{1} n^{1} + 2 n + n \cdot 3 + 2 \cdot 3 + n (2 n) + 5 (2 n) + n \cdot 5 + 5 \cdot 5}$

解题步骤 3.3.25.7.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{n^{1 + 1} + 2 n + n \cdot 3 + 2 \cdot 3 + n (2 n) + 5 (2 n) + n \cdot 5 + 5 \cdot 5}$

解题步骤 3.3.25.7.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{n^{2} + 2 n + n \cdot 3 + 2 \cdot 3 + n (2 n) + 5 (2 n) + n \cdot 5 + 5 \cdot 5}$

解题步骤 3.3.25.7.5

将 $3$ 移到 $n$ 的左侧。

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{n^{2} + 2 n + 3 \cdot n + 2 \cdot 3 + n (2 n) + 5 (2 n) + n \cdot 5 + 5 \cdot 5}$

解题步骤 3.3.25.7.6

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{n^{2} + 2 n + 3 n + 6 + n (2 n) + 5 (2 n) + n \cdot 5 + 5 \cdot 5}$

解题步骤 3.3.25.7.7

将 $2 n$ 和 $3 n$ 相加。

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{n^{2} + 5 n + 6 + n (2 n) + 5 (2 n) + n \cdot 5 + 5 \cdot 5}$

解题步骤 3.3.25.7.8

对 $n$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{n^{2} + 5 n + 6 + 2 (n^{1} n) + 5 (2 n) + n \cdot 5 + 5 \cdot 5}$

解题步骤 3.3.25.7.9

对 $n$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{n^{2} + 5 n + 6 + 2 (n^{1} n^{1}) + 5 (2 n) + n \cdot 5 + 5 \cdot 5}$

解题步骤 3.3.25.7.10

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{n^{2} + 5 n + 6 + 2 n^{1 + 1} + 5 (2 n) + n \cdot 5 + 5 \cdot 5}$

解题步骤 3.3.25.7.11

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{n^{2} + 5 n + 6 + 2 n^{2} + 5 (2 n) + n \cdot 5 + 5 \cdot 5}$

解题步骤 3.3.25.7.12

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{n^{2} + 5 n + 6 + 2 n^{2} + 10 n + n \cdot 5 + 5 \cdot 5}$

解题步骤 3.3.25.7.13

将 $5$ 移到 $n$ 的左侧。

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{n^{2} + 5 n + 6 + 2 n^{2} + 10 n + 5 \cdot n + 5 \cdot 5}$

解题步骤 3.3.25.7.14

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{n^{2} + 5 n + 6 + 2 n^{2} + 10 n + 5 n + 25}$

解题步骤 3.3.25.7.15

将 $10 n$ 和 $5 n$ 相加。

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{n^{2} + 5 n + 6 + 2 n^{2} + 15 n + 25}$

解题步骤 3.3.25.7.16

将 $n^{2}$ 和 $2 n^{2}$ 相加。

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{3 n^{2} + 5 n + 6 + 15 n + 25}$

解题步骤 3.3.25.7.17

将 $5 n$ 和 $15 n$ 相加。

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{3 n^{2} + 20 n + 6 + 25}$

解题步骤 3.3.25.7.18

将 $6$ 和 $25$ 相加。

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{3 n^{2} + 20 n + 31}$

解题步骤 4

计算极限值。

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解题步骤 4.1

当 $n$ 趋于 $- 5$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{n \to - 5} - 1}{lim_{n \to - 5} 3 n^{2} + 20 n + 31}$

解题步骤 4.2

计算 $- 1$ 的极限值，当 $n$ 趋近于 $- 5$ 时此极限值为常数。

$\frac{- 1}{lim_{n \to - 5} 3 n^{2} + 20 n + 31}$

解题步骤 4.3

当 $n$ 趋于 $- 5$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{- 1}{lim_{n \to - 5} 3 n^{2} + lim_{n \to - 5} 20 n + lim_{n \to - 5} 31}$

解题步骤 4.4

因为项 $3$ 对于 $n$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{- 1}{3 lim_{n \to - 5} n^{2} + lim_{n \to - 5} 20 n + lim_{n \to - 5} 31}$

解题步骤 4.5

使用极限幂法则把 $n^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{- 1}{3 {(lim_{n \to - 5} n)}^{2} + lim_{n \to - 5} 20 n + lim_{n \to - 5} 31}$

解题步骤 4.6

因为项 $20$ 对于 $n$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{- 1}{3 {(lim_{n \to - 5} n)}^{2} + 20 lim_{n \to - 5} n + lim_{n \to - 5} 31}$

解题步骤 4.7

计算 $31$ 的极限值，当 $n$ 趋近于 $- 5$ 时此极限值为常数。

$\frac{- 1}{3 {(lim_{n \to - 5} n)}^{2} + 20 lim_{n \to - 5} n + 31}$

解题步骤 5

将 $- 5$ 代入所有出现 $n$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 5.1

将 $- 5$ 代入 $n$ 来计算 $n$ 的极限值。

$\frac{- 1}{3 {(- 5)}^{2} + 20 lim_{n \to - 5} n + 31}$

解题步骤 5.2

将 $- 5$ 代入 $n$ 来计算 $n$ 的极限值。

$\frac{- 1}{3 {(- 5)}^{2} + 20 \cdot - 5 + 31}$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

化简分母。

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解题步骤 6.1.1

对 $- 5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{- 1}{3 \cdot 25 + 20 \cdot - 5 + 31}$

解题步骤 6.1.2

将 $3$ 乘以 $25$ 。

$\frac{- 1}{75 + 20 \cdot - 5 + 31}$

解题步骤 6.1.3

将 $20$ 乘以 $- 5$ 。

$\frac{- 1}{75 - 100 + 31}$

解题步骤 6.1.4

从 $75$ 中减去 $100$ 。

$\frac{- 1}{- 25 + 31}$

解题步骤 6.1.5

将 $- 25$ 和 $31$ 相加。

$\frac{- 1}{6}$

解题步骤 6.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{6}$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{1}{6}$

小数形式：

$- 0.1\overline{6}$

微积分学 示例

微积分学示例